Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，函数y=2x+8的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，过点A的直线交y轴正半轴于点M，且点M为线段OB的中点．

（1）求直线AM的函数解析式．

（2）试在直线AM上找一点P，使得S△ABP=S△AOB，求出点P的坐标．

（3）若点H为坐标平面内任意一点，在坐标平面内是否存在这样的点H，使以A、B、M、H为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有点H的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x+4；（2）点P的坐标为（-12，-8）或（4，8）；（3）存在，（-4，-4），（-4，4）或（4，12）．

【解析】

（1）通过函数y=2x+8求出A、M两点坐标，由两点坐标求出直线AM的函数解析式；

（2）设出P点坐标，按照等量关系“S△ABP=S△AOB”即可求出；

（3）设点H的坐标为（m，n），然后分三种情况进行讨论即可.

（1）当x=0时，y=2x+8=8，
∴点B的坐标为（0，8）；
当y=0时，2x+8=0，
解得：x=-4，
∴点A的坐标为（-4，0）．
∵点M为线段OB的中点，
∴点M的坐标为（0，4）．
设直线AM的函数解析式为y=kx+b（k≠0），
将A（-4，0），B（0，4）代入y=kx+b，得：，
解得：，
∴直线AM的函数解析式为y=x+4．
（2）设点P的坐标为（x，x+4），
∵S△ABP=S△AOB，
∴BM|xP-xA|=OAOB，即×4×|x+4|=×4×8，
解得：x1=-12，x2=4，
∴点P的坐标为（-12，-8）或（4，8）．

（3）存在， （-4，-4），（-4，4）或（4，12）．

设点H的坐标为（m，n）．
分三种情况考虑（如图所示）：
①当AM为对角线时，，
解得：，
∴点H1的坐标为（-4，-4）；
②当AB为对角线时， ，
解得：，
∴点H2的坐标为（-4，4）；
③当BM为对角线时，，
解得：，
∴点H3的坐标为（4，12）．
综上所述：在坐标平面内存在点H，使以A、B、M、H为顶点的四边形是平行四边形，点H的坐标为（-4，-4），（-4，4）或（4，12）．