Question

【题目】在△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC上一点，将△ABD沿AD翻折后得到△AED，边AE交BC于点F．

(1)如图①，当AE⊥BC时，写出图中所有与∠B相等的角：　 ；所有与∠C相等的角：　 　 ．

(2)若∠C－∠B＝50°，∠BAD＝x°(0＜x≤45) ．

① 求∠B的度数；

②是否存在这样的x的值，使得△DEF中有两个角相等．若存在，并求x的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1)∠E、∠CAF；∠CDE、∠BAF； (2)①20°；②30

【解析】

（1）由翻折的性质和平行线的性质即可得与∠B相等的角；由等角代换即可得与∠C相等的角；

（2）①由三角形内角和定理可得，再由根据角的和差计算即可得∠C的度数，进而得∠B的度数．

②根据翻折的性质和三角形外角及三角形内角和定理，用含x的代数式表示出∠FDE、∠DFE的度数，分三种情况讨论求出符合题意的x值即可．

（1）由翻折的性质可得：∠E＝∠B，

∵∠BAC＝90°，AE⊥BC，

∴∠DFE＝90°，

∴180°－∠BAC＝180°－∠DFE＝90°，

即：∠B＋∠C＝∠E＋∠FDE＝90°，

∴∠C＝∠FDE，

∴AC∥DE，

∴∠CAF＝∠E，

∴∠CAF＝∠E＝∠B

故与∠B相等的角有∠CAF和∠E；

∵∠BAC＝90°，AE⊥BC，

∴∠BAF＋∠CAF＝90°, ∠CFA＝180°－（∠CAF＋∠C）＝90°

∴∠BAF＋∠CAF＝∠CAF＋∠C＝90°

∴∠BAF＝∠C

又AC∥DE，

∴∠C＝∠CDE，

∴故与∠C相等的角有∠CDE、∠BAF；

（2）①∵

∴

又∵，

∴∠C＝70°，∠B＝20°;

②∵∠BAD＝x°, ∠B＝20°则,,

由翻折可知：∵, ,

∴, ,

当∠FDE＝∠DFE时，, 解得：；

当∠FDE＝∠E时，，解得：（因为0＜x≤45，故舍去）；

当∠DFE＝∠E时，，解得：（因为0＜x≤45，故舍去）；

综上所述，存在这样的x的值，使得△DEF中有两个角相等．且．