Question

【题目】如图1，抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴交于A（1,0），B（-3,0），与 y 轴交于C（0，3），顶点是G.
（1）求抛物线的的解析式及顶点坐标G.
（2）如图1，点D（x，y）是线段BG上的动点（不与B，G重合），DE⊥x轴于E，设四边形OEDC的面积为S，求S与x之间的函数关系式，并求S的最大值.
（3）如图2，将抛物线 y=ax2+bx+c 向下平移 k 个单位，平移后的顶点式 G' ，与 x 轴的交点是 A'，B' .若△A'B'G' 是直角三角形，求 k 的值.

Answer 1

【答案】
（1）解：∵与 x 轴的交点为A（1,0），B（-3,0），
∴设二次函数为 y=a(x+1)(x3)，
把C（0，3）代入 y=a(x+1)(x3)，
∴ a=-1 ，
∴ y=-x2-2x+3=-（x+1）2+4.
∴G(-1，4).
（2）解：设直线BG解析式为 ：y=kx+b
∵B(3，0)，G(1，4) 在直线BG上，
∴，
∴，
∴ 直线BG解析式为：y=2x+6，
∴ D(x，2x+6)
∴ S===-x2-x （ 3<x<1 ），
当 x=-=-时，Smax=.
（3）解：设平移后的抛物线为 y=(x+1)2+m，
∴G'(-1,m)，A'（-1-，0），B'（-1+，0），
∴A'B'=2，B'G'=A'G'=，
∵△A'B'G'为直角三角形，
∴B'G'2+A'G'2=A'B'2，
∴m2m=0，
∴ m1=1 ， m2=0 （舍），
∴ y=(x+1)2+1，
∵由 y=(x+1)2+4 得到 y=(x+1)2+1
∴ 向下平移3个单位，
∴ k=3.
【解析】（1）根据题意可设二次函数为 y=a(x+1)(x3)，将C（0，3）代入 y=a(x+1)(x3)，从而求出抛物线解析式，即可得出顶点坐标.
（2）设直线BG解析式为 ：y=kx+b把B(3，0)，G(1，4) 代入即可得到一个二元一次方程组，解之即可得出直线BG解析式为：y=2x+6，从而表示D(x，2x+6)，再由S===-x2-x （ 3<x<1 ），由二次函数的性质得出当 x=-=-时，Smax=.
（3）设平移后的抛物线为 y=(x+1)2+m，根据题意得G'(-1,m)，A'（-1-，0），B'（-1+，0），A'B'=2，B'G'=A'G'=，
在Rt△A'B'G'中，由勾股定理得m2m=0，从而求出m值，即可得出k值.
【考点精析】认真审题，首先需要了解确定一次函数的表达式(确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式y=kx+b（k不等于0）中的常数k和b．解这类问题的一般方法是待定系数法)，还要掌握二次函数图象的平移(平移步骤：（1）配方 y=a(x-h)2+k，确定顶点（h,k）（2）对x轴左加右减；对y轴上加下减)的相关知识才是答题的关键．