Question

【题目】如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，点E为△ABC的内心，连接AE并延长交⊙O于D点，连接BD并延长至F，使得BD=DF，连接CF、BE．
（1）求证：DB=DE；
（2）求证：直线CF为⊙O的切线

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵E是△ABC的内心，

∴∠BAE=∠CAE，∠EBA=∠EBC，

∵∠BED=∠BAE+∠EBA，∠DBE=∠EBC+∠DBC，∠DBC=∠EAC，

∴∠DBE=∠DEB，

∴DB=DE

（2）证明：连接CD．

∵DA平分∠BAC，

∴∠DAB=∠DAC，

∴ = ，

∴BD=CD，

∵BD=DF，

∴CD=DB=DF，

∴∠BCF=90°，

∴BC⊥CF，

∴CF是⊙O的切线．

【解析】（1）欲证明DB=DE，只要证明∠DBE=∠DEB；（2）欲证明直线CF为⊙O的切线，只要证明BC⊥CF即可；