Question

【题目】如图，抛物线y= x2+mx+n与直线y=﹣ x+3交于A，B两点，交x轴与D，C两点，连接AC，BC，已知A（0，3），C（3，0）．

（1）求抛物线的解析式和tan∠BAC的值；
（2）在（1）条件下，P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ACB相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】解：（1）把A（0，3），C（3，0）代入y= x2+mx+n，得

，

解得： ．

∴抛物线的解析式为y= x2﹣ x+3．

联立 ，

解得： 或 ，

∴点B的坐标为（4，1）．

过点B作BH⊥x轴于H，如图1．∵C（3，0），B（4，1），

∴BH=1，OC=3，OH=4，CH=4﹣3=1，∴BH=CH=1．

∵∠BHC=90°，∴∠BCH=45°，BC= ．

同理：∠ACO=45°，AC=3 ，

∴∠ACB=180°﹣45°﹣45°=90°，

∴tan∠BAC= ；

（2）存在点P，使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ACB相似．

过点P作PG⊥y轴于G，

则∠PGA=90°．

设点P的横坐标为x，由P在y轴右侧可得x＞0，则PG=x．

∵PQ⊥PA，∠ACB=90°，∴∠APQ=∠ACB=90°．

若点G在点A的下方，

①如图2①，当∠PAQ=∠CAB时，则△PAQ∽△CAB．

∵∠PGA=∠ACB=90°，∠PAQ=∠CAB，∴△PGA∽△BCA，

∴ ．

∴AG=3PG=3x．

则P（x，3﹣3x）．把P（x，3﹣3x）代入y= x2﹣ x+3，得： x2﹣ x+3=3﹣3x，

整理得：x2+x=0，解得：x1=0（舍去），x2=﹣1（舍去）．

②如图2②，

当∠PAQ=∠CBA时，则△PAQ∽△CBA．

同理可得：AG= PG= x，则P（x，3﹣ x），

把P（x，3﹣ x）代入y= x2﹣ x+3，得： x2﹣ x+3=3﹣ x，

整理得：x2﹣ x=0，解得：x1=0（舍去），x2= ，∴P（ ， ）；

若点G在点A的上方，

①当∠PAQ=∠CAB时，则△PAQ∽△CAB，

同理可得：点P的坐标为（11，36）．

②当∠PAQ=∠CBA时，则△PAQ∽△CBA．

同理可得：点P的坐标为P（ ， ）．

综上所述：满足条件的点P的坐标为（11，36）、（ ， ）、（ ， ）．

【解析】（1）将点A、B的坐标代入抛物线的解析式得到关于m、n的方程组，从而可求得m、n；过点B作BH⊥OH，先求得点C的坐标，然后再证明△AOC和△BHC为等腰直角三角形，从而可求得∠ACB=90°，然后依据勾股定理可求得AC、BC的长，最后依据锐角三角函数的定义可求得答案。
（2）过点P作PG⊥OA，当G在点A的下方时，分为∠PAQ=∠CAB和∠PAQ=∠CBA两种情况，当点G在点A的上方，分为∠PAQ=∠CAB和∠PAQ=∠CBA两情况分类计算即可．.
【考点精析】通过灵活运用二次函数图象的平移和相似三角形的判定与性质，掌握平移步骤：（1）配方 y=a(x-h)2+k，确定顶点（h,k）（2）对x轴左加右减；对y轴上加下减；相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方即可以解答此题．