Question

【题目】将一副三角板按如图方式摆放，两个直角顶点重合，∠A=60°，∠E=∠B=45°

（1）求证：∠ACE=∠BCD；
（2）猜想∠ACB与∠ECD数量关系并说明理由；
（3）按住三角板ACD不动，绕点C旋转三角板ECB，探究当∠ACB等于多少度时，AD∥CB．请在备用图中画出示意图并简要说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

证明；∵∠ACD=∠ECB=90°，

∴∠ACE=∠ACD﹣∠ECD=90°﹣∠ECD，

∠BCD=∠ECB﹣∠ECD=90°﹣∠ECD，

∴∠ACE=∠BCE．

（2）

猜想：∠ACB+∠ECD=180°．

理由：∵∠ACD=∠ECB=90°，

∴∠ACB+∠ECD

=∠ACE+∠ECD+∠DCB+∠ECD

=∠ACD+∠ECB

=90°+90°=180°

（3）

解；当∠ACB=120°或60°时，AD∥CB．

理由：如图①，根据“同旁内角互补，两直线平行”：

当∠A+∠ACB=180°时，AD∥BC，

此时，∠ACB=180°﹣∠A=180°﹣60°=120°．

如图②，根据“内错角相等，两直线平行”：

当∠ACB=∠A=60°时，AD∥BC．

【解析】（1）根据“同角的补角相等”求证．（2）可先进行分析：因为∠ACB+∠ECD=∠ACE+∠ECD+∠DCB+∠ECD=∠ACD+∠ECB，故∠ACB与∠ECD数量关系：∠ACB+∠ECD=180°．（3）作图后根据两直线平行的判定定理去求证．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用平行线的判定与性质和三角形的内角和外角的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握由角的相等或互补（数量关系）的条件，得到两条直线平行（位置关系）这是平行线的判定；由平行线（位置关系）得到有关角相等或互补（数量关系）的结论是平行线的性质；三角形的三个内角中，只可能有一个内角是直角或钝角；直角三角形的两个锐角互余；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．