Question

【题目】如图，在中，对角线，交于点，为的中点，点在的延长线上，且．

（1）求证：四边形是平行四边形；

（2）当线段和之间满足什么条件时，四边形是矩形？并说明理由；

（3）当线段和之间满足什么条件时，四边形是正方形？并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析

【解析】

（1）首先证明OE是△ABC的中位线，推出OE∥BC，由EF∥OB，推荐可提出四边形OBFE是平行四边形．
（2）当AD⊥BD时，四边形OBFE是矩形．只要证明∠EOB=90°即可解决问题；

（3）当AD⊥BD，AD=BD时，四边形OBFE是正方形．根据中位线性质再证OB=OE即可．

（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴点O是AC的中点．
又∵点E是边AB的中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE∥BC，
又∵点F在CB的延长线上，
∴OE∥BF．
∵EF∥BD，即EF∥OB，
∴四边形OBFE是平行四边形．

（2）当AD⊥BD时，四边形OBFE是矩形．
理由：由（1）可知四边形OBFE是平行四边形，
又∵AD⊥BD，AD∥BC，且点F在BC的延长线上，
∴FC⊥BD，
∴∠OBF=90°，
∴四边形OBFE是矩形．

（3）结论：当AD⊥BD，AD=BD时，四边形OBFE是正方形．

理由：∵OE为△ABD的中位线，
∴OE=AD
∵O为BD中点，
∴OB=BD，
∵AD=BD，
∴OB=OE，
∵当AD⊥BD时，四边形OBFE是矩形，
∴当AD⊥BD，AD=BD时，四边形OBFE是正方形．