Question

【题目】如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的角分线．

（1）以AB上的一点O为圆心，AD为弦在图中作出⊙O．（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并证明你的结论．
（3）若∠B=30°，计算S△DAC：S△ABC的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：如图所示，

（2）解：相切；理由如下：

证明：连结OD，

∵OA=OD，

∴∠OAD=∠ODA

∵AD是BAC的角平分线，则∠OAD=∠DAC，

∴∠ODA=∠DAC，

∵AC⊥BC，则∠DAC+∠ADC=90°，

∴∠ODA+∠ADC=90°，即∠ODC=90°，

∴OD⊥BC，

即BC是⊙O的切线

（3）解：∵在Rt△ACD中，∠CAD=30°，

∴CD= AD，

∴BC=CD+BD=CD+AD=3CD，

∴S△DAC= ，S△ABC= = ；

∴S△DAC：S△ABC= ： =1：3

【解析】（1）以AD为弦就是圆过A、D两点，作线段ADDE垂直平分线即可;（2）证切线须连结OD，可由AD是∠BAC的角平分线，可得出∠OAD=∠DAC，AC⊥BC，则∠DAC+∠ADC=90°；（3）由∠CAD=30°，得出CD= AD，利用面积公式可得出比值.
【考点精析】解答此题的关键在于理解直线与圆的三种位置关系的相关知识，掌握直线与圆有三种位置关系：无公共点为相离；有两个公共点为相交,这条直线叫做圆的割线；圆与直线有唯一公共点为相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点．