Question

【题目】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D与点B在AC同侧，∠DAC＞∠BAC，且DA=DC，过点B作BE∥DA交DC于点E，M为AB的中点，连接MD，ME．
（1）如图1，当∠ADC=90°时，线段MD与ME的数量关系是；

（2）如图2，当∠ADC=60°时，试探究线段MD与ME的数量关系，并证明你的结论；

（3）如图3，当∠ADC=α时，求 的值．

Answer 1

【答案】
（1）MD=ME
（2）

解：MD= ME，理由：

如图2，延长EM交AD于F，

∵BE∥DA，

∴∠FAM=∠EBM，

∵AM=BM，∠AMF=∠BME，

∴△AMF≌△BME，

∴AF=BE，MF=ME，

∵DA=DC，∠ADC=60°，

∴∠BED=∠ADC=60°，∠ACD=60°，

∵∠ACB=90°，

∴∠ECB=30°，

∴∠EBC=∠BED﹣∠ECB=30°=∠ECB，

∴CE=BE，

∴AF=CE，

∵DA=DC，

∴DF=DE，

∴DM⊥EF，DM平分∠ADC，

∴∠MDE=30°，

在Rt△MDE中，tan∠MDE= ，

∴MD= ME．

（3）

解：如图3，延长EM交AD于F，

∵BE∥DA，

∴∠FAM=∠EBM，

∵AM=BM，∠AMF=∠BME，

∴△AMF≌△BME，

∴AF=BE，MF=ME，

延长BE交AC于点N，

∴∠BNC=∠DAC，

∵DA=DC，

∴∠DCA=∠DAC，

∴∠BNC=∠DCA，

∵∠ACB=90°，

∴∠ECB=∠EBC，

∴CE=BE，

∴AF=CE，

∴DF=DE，

∴DM⊥EF，DM平分∠ADC，

∵∠ADC=α，

∴∠MDE= ，

在Rt△MDE中， =tan∠MDE=tan ．

【解析】解：（1.）如图1，延长EM交AD于F，
∵BE∥DA，
∴∠FAM=∠EBM，
∵AM=BM，∠AMF=∠BME，
∴△AMF≌△BME，
∴AF=BE，MF=ME，
∵DA=DC，∠ADC=90°，
∴∠BED=∠ADC=90°，∠ACD=45°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ECB=45°，
∴∠EBC=∠BED﹣∠ECB=45°=∠ECB，
∴CE=BE，
∴AF=CE，
∵DA=DC，
∴DF=DE，
∴DM⊥EF，DM平分∠ADC，
∴∠MDE=45°，
∴MD=ME，
所以答案是MD=ME；