Question

【题目】已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+ （m2+1）=0有实数根．
（1）求m的值；
（2）先作y=x2﹣（m+1）x+ （m2+1）的图象关于x轴的对称图形，然后将所作图形向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，写出变化后图象的解析式；
（3）在（2）的条件下，当直线y=2x+n（n≥m）与变化后的图象有公共点时，求n2﹣4n的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：对于一元二次方程x2﹣（m+1）x+ （m2+1）=0，

△=（m+1）2﹣2（m2+1）=﹣m2+2m﹣1=﹣（m﹣1）2，

∵方程有实数根，

∴﹣（m﹣1）2≥0，

∴m=1．

（2）解：由（1）可知y=x2﹣2x+1=（x﹣1）2，

图象如图所示：

平移后的解析式为y=﹣（x+2）2+2=﹣x2﹣4x﹣2．

（3）解：由 消去y得到x2+6x+n+2=0，

由题意△≥0，

∴36﹣4n﹣8≥0，

∴n≤7，

∵n≤m，m=1，

∴1≤n≤7，

令y′=n2﹣4n=（n﹣2）2﹣4，

∴n=2时，y′的值最小，最小值为﹣4，

n=7时，y′的值最大，最大值为21，

∴n2﹣4n的最大值为21，最小值为﹣4．

【解析】（1）由题意△≥0，列出不等式，解不等式即可；（2）画出翻折．平移后的图象，根据顶点坐标即可写出函数的解析式；（3）首先确定n的取值范围，利用二次函数的性质即可解决问题；
【考点精析】掌握求根公式和二次函数图象的平移是解答本题的根本，需要知道根的判别式△=b2-4ac，这里可以分为3种情况：1、当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根2、当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根3、当△<0时，一元二次方程没有实数根；平移步骤：（1）配方 y=a(x-h)2+k，确定顶点（h,k）（2）对x轴左加右减；对y轴上加下减．