Question

【题目】如图，点在以为直径的上，点是的中点，过点作垂直于，交的延长线于点，连接交于点.

（1）求证：是的切线；

（2）若，求的长.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）16.

【解析】

试题分析：（1）连接OC，由点C是的中点利用垂径定理可得出OC⊥BE，由AB是⊙O的直径可得出AD⊥BE，进而可得出AD∥OC，再根据AD⊥CD可得出OC⊥CD，由此即可证出CD是⊙O的切线．

（2）过点O作OM⊥AC于点M，由点C是的中点利用圆周角定理可得出∠BAC=∠CAE，根据角平分线的定理结合cos∠CAD=可求出AB的长度，在Rt△AOM中，通过解直角三角形可求出AM的长度，再根据垂径定理即可得出AC的长度．

试题解析：（1）证明：连接OC，如图1所示．

∵点C是的中点，∴，∴OC⊥BE．

∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BE，∴AD∥OC．

∵AD⊥CD，∴OC⊥CD，

∴CD是⊙O的切线．

（2）解：过点O作OM⊥AC于点M，如图2所示．

∵点C是的中点，∴，∠BAC=∠CAE，

∴．

∵cos∠CAD=，∴，∴AB=BF=20．

在Rt△AOM中，∠AMO=90°，AO=AB=10，cos∠OAM=cos∠CAD=，

∴AM=AOcos∠OAM=8，∴AC=2AM=16．