Question

【题目】如图1，平面直角坐标系x0y中，点A（0，2），B（1，0），C（﹣4，0）点D为射线AC上一动点，连结BD，交y轴于点F，⊙M是△ABD的外接圆，过点D的切线交x轴于点E．

（1）判断△ABC的形状；

（2）当点D在线段AC上时，

①证明：△CDE∽△ABF；

②如图2，⊙M与y轴的另一交点为N，连结DN、BN，当四边形ABND为矩形时，求tan∠DBC；

（3）点D在射线AC运动过程中，若，求的值．

Answer 1

【答案】（1）直角三角形；（2）①证明见解析，②；（3）或

【解析】试题分析：（1）已知三个点的坐标，可以求出相应线段的长度，运用三角函数可以证明∠ACO=∠BAO，进一步证明∠BAC=90°；

（2）只需证明∠CDE=∠ABD，∠DCE=∠BAF，即可证明相似；

当四边形ABND为矩形时，根据直角三角形AOB和直角三角形ABN相似，可求AN长度，进一步求出OM，运用三角函数求解即可；

（3）根据点D在线段AC上，和线段AC的延长线上分别讨论求解；

试题解析：

解：由点A（0，2），B（1，0），C（﹣4，0）可知：OA=2，OC=4，OB=1，

在直角三角形AOC和直角三角形AOB中，根据勾股定理可求：AC= =2，

AB==．

（1）在直角三角形AOC和直角三角形AOB中，tan∠ACO=，tan∠BAO=，所以∠ACO=∠BAO，

∵∠ACO+∠CAO=90°，

∴∠BAO+∠CAO=90°，∠BAC=90°，

∴△ABC是直角三角形．

（2）①由（1）知：∠BAC=90°，∴BD是圆M的直径，

∵DE是圆M的切线，∴∠BDE=90°．

∴∠CDE+∠ADB=90°，又∠ADB+∠ABD=90°，∴∠CDE=∠ABD，

∵∠DCE+∠ABO=90°，∠ABO+∠BAF=90°，∴∠DCE=∠BAF

∴△CDE∽△ABF．

②当四边形ABND为矩形时，∵∠ABN=90°，∴AN是圆的直径，由OB是直角三角形ABN的斜边上的高线，由∠BAO=∠BA0，∠BOA=∠ABN=90°，

∴△AOB∽△ABN，

∴， ∴AB2=OA×AN，

∵OA=2，AB=，可求：AN=，

∴ON=，OM=MN﹣ON=，

在直角三角形OBN中，

tan∠DBC==．

（3）若点D 在线段AC上，

如图2：由①知△CDE∽△ABF可得： ，AC=2，

由，可得：CD=，AD=，

在直角三角形ABD中，由勾股定理可求：BD==，

∵∠CBD=∠FBO，∠BOF=∠BDE=90°，

∴△BFO∽△BED，

∴，

设：DE=2x，则BF=3x，由勾股定理得：OF==，

∴，解得： ，

∴DE=，BF=，DF=BD﹣DF=，

∴=，

若点D在线段AC的延长线上，

如图3：∵DE是圆M的切线，

∴∠BDE=90°

∴∠EDC+∠CDB=90°

∵∠ABD+∠CDB=90°

∴∠EDC=∠ABD，

∵∠DEB+∠DBE=90°，∠DBE+∠OFB=90°

∴∠DEB=∠OFB，

∴△CDE∽△ABF，可得： ，AC=2，

由，可得：CD=，∴AD=AC+CD=，

由勾股定理得：BD==，

∵∠CBD=∠FBO，∠BOF=∠BDE=90°，

∴△BFO∽△BED，

∴，

设：DE=2x，则BF=3x，

由勾股定理得：OF==，

∴，解得： ，

∴DE=2x=，BF=3x=，DF=BD﹣DF=，

∴=，

综上所述： 的值是或．

图3