Question

【题目】已知如图，四边形ABCD中∠BAD=α，∠BCD=β, BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC

（1）如图1，若α+β= ，则∠MBC+∠NDC=度；
（2）如图1，若BE与DF相交于点G，∠BGD=45°，请求出α、β所满足的等量关系式；
（3）如图2，若α=β，判断BE、DF的位置关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）150
（2）

β-α=90°
理由：如图1，连接BD，

由（1）有，∠MBC+∠NDC=α+β，
∵BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，
∴∠CBG=∠MBC，∠CDG=∠NDC，

∴∠CBG+∠CDG=∠MBC+∠NDC=（∠MBC+∠NDC）=（α+β），

在△BCD中，∠BDC+∠CBD=180°-∠BCD=180°-β，
在△BDG中，∠BGD=45°，
∴∠GBD+∠GDB+∠BGD=180°，
∴∠CBG+∠CBD+∠CDG+∠BDC+∠BGD=180°，
∴（∠CBG+∠CDG）+（∠BDC+∠CDB）+∠BGD=180°，
∴（α+β）+180°-β+45°=180°，
∴β-α=90°，

（3）

平行，
理由：如图2，延长BC交DF于H，

由（1）有，∠MBC+∠NDC=α+β，
∵BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，
∴∠CBE=∠MBC，∠CDH=∠NDC，

∴∠CBE+∠CDH=∠MBC+∠NDC=（∠MBC+∠NDC）=（α+β），

∵∠BCD=∠CDH+∠DHB，
∴∠CDH=∠BCD-∠DHB=β-∠DHB，
∴∠CBE+β-∠DHB=（α+β），

∵α=β，
∴∠CBE+β-∠DHB=（β+β）=β，

∴∠CBE=∠DHB，
∴BE∥DF．

【解析】（1）在四边形ABCD中，∠BAD+∠ABC+∠BCD+∠ADC=360°，
∴∠ABC+∠ADC=360°-（α+β），
∵∠MBC+∠ABC=180°，∠NDC+∠ADC=180°
∴∠MBC+∠NDC=180°-∠ABC+180°-∠ADC=360°-（∠ABC+∠ADC）=360°-[360°-（α+β）]=α+β，
∵α+β=150°，
∴∠MBC+∠NDC=150°.
【考点精析】本题主要考查了平行线的判定与性质的相关知识点，需要掌握由角的相等或互补（数量关系）的条件，得到两条直线平行（位置关系）这是平行线的判定；由平行线（位置关系）得到有关角相等或互补（数量关系）的结论是平行线的性质才能正确解答此题．