Question

【题目】我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．

(1)如图，已知格点(小正方形的顶点)：、、，若为格点，请直接画出所有以、为勾股边且对角线相等的勾股四边形；

(2)如图，将绕顶点按顺时针方向旋转，得到，连结、，，求证：，即四边形是勾股四边形；

(3)如图，在四边形中，为等边三角形，，，，求长．

Answer 1

【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）10

【解析】

（1）利用勾股定理计算画出即可.

（2）首先证明△ABC≌△BDC，得出AC=DE，BC=BE，连接CE，进一步得出△BCE为等边三角形；利用等边三角形的性质，进一步得出△DCE是直角三角形，即可解答．

（3）将△ABC逆时针旋转60°，即可得出上△ADE为直角三角形，再根据勾股定理求出ED的值即可解答.

（1）如图1

（2）如图2，连接EC.

根据旋转的性质知△ABC≌△BDC，则BC=BD，AC=DE.

又∠CBE=60°

△CBE是等边三角形

∠BCE=60°，BD=DE

∠DCB=30°

∠BCE+∠DCB=90°即∠DCE=90°

，即四边形ABCD是勾股四边形.

（3）如图示，将△ABC逆时针旋转60°，使C，与D点重合，得到△EBD，

则有：AB=AE，AC=ED，∠ABE=60，

∴△ABE为等边三角形，

∠DAE=∠DAB+∠BAE=30°+60°=90°

△DAE为直角三角形

即：

故AC=10.