Question

【题目】如图，四边形ABCD是边长为a的正方形，点G，E分别是边AB，BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．
（1）证明：∠BAE=∠FEC；
（2）证明：△AGE≌△ECF；
（3）求△AEF的面积．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵∠AEF=90°，

∴∠FEC+∠AEB=90°；

在Rt△ABE中，∠AEB+∠BAE=90°，

∴∠BAE=∠FEC

（2）证明：∵G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC的中点，

∴AG=GB=BE=EC，且∠AGE=180°﹣45°=135°；

又∵CF是∠DCH的平分线，

∴∠DCF=∠FCH=45°，

∠ECF=90°+45°=135°；

在△AGE和△ECF中， ；

∴△AGE≌△ECF；

（3）解：由△AGE≌△ECF，得AE=EF；

又∵∠AEF=90°，

∴△AEF是等腰直角三角形；

∵AB=a，E为BC中点，

∴BE= BC= AB= a，

根据勾股定理得：AE= = a，

∴S△AEF= a2．

【解析】（1）由于∠AEF是直角，则∠BAE和∠FEC同为∠AEB的余角，由此得证；（2）根据正方形的性质，易证得AG=EC，∠AGE=∠ECF=135°；再加（1）得出的相等角，可由ASA判定两个三角形全等；（3）在Rt△ABE中，根据勾股定理易求得AE2；由（2）的全等三角形知：AE=EF，即△AEF是等腰Rt△，因此其面积为AE2的一半，由此得解．