Question

【题目】【问题学习】小芸在小组学习时问小娟这样一个问题：已知α为锐角，且sinα= ，求sin2α的值．小娟是这样给小芸讲解的：
构造如图1所示的图形，在⊙O中，AB是直径，点C在⊙O上，所以∠ACB=90°，作CD⊥AB于D．设∠BAC=α，则sinα= ，可设BC=x，则AB=3x，…．

（1）【问题解决】
请按照小娟的思路，利用图1求出sin2α的值；（写出完整的解答过程）
（2）如图2，已知点M，N，P为⊙O上的三点，且∠P=β，sinβ= ，求sin2β的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：如图1中，⊙O中，AB是直径，点C在⊙O上，所以∠ACB=90°，作CD⊥AB于D．设∠BAC=α，则sinα= ，可设BC=x，则AB=3x．

∴AC= = =2 x，
∵ ACBC= ABCD，
∴CD= x，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=α，
∴∠COB=2α，
∴sin2α= =
（2）解：如图2中，连接NO，并延长交⊙O于点Q，连接MQ，MO，过点M作MR⊥NO于点R．

在⊙O中，∠NMQ=90°，
∵∠Q=∠P=β，∴∠MON=2∠Q=2β，
在Rt△QMN中，∵sinβ= ，
∴设MN=3k，则NQ=5k，易得OM= NQ= ，
∴MQ= =4k，
∵ ，
∴3k4k=5kMR
∴MR= ，
在Rt△MRO中，sin2β=sin∠MON= ．
【解析】（1）通过圆周角定理构造2倍关系角和直角三角形，利用正弦定义可求出sin2α的值；（2）借鉴（1）的方法，通过圆周角定理把圆周角∠P转化为一条边过圆心的圆周角，进而构造出2倍角，利用定义求出正弦.