Question

【题目】如图1，在正方形ABCD中，P为对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA＝PE，PE交CD于F，连接CE．

（1）求证：△PCE是等腰直角三角形；

（2）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC＝120°时，判断△PCE的形状，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）△PCE是等边三角形．理由见解析.

【解析】

（1）由△PDA≌△PDC，推出PA=PC，∠3=∠1，由PA=PE，推出∠2=∠3，推出∠1=∠2，由∠EDF=90°，∠DFE=∠PFC，推出∠FPC=EDF=90°，推出△PEC是等腰直角三角形；

（2）由△PDA≌△PDC，推出PA=PC，∠3=∠1，由PA=PE，推出∠2=∠3，PA═PE=PC，推出∠1=∠2，由∠DFE=∠PFC，推出∠EPC=∠EDC，由∠ADC=120°，推出∠EDC=60°，推出∠EPC=60°，由PE=PC，即可证明△PEC是等边三角形.

（1）证明：如图1中，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD＝DC，∠ADB＝∠CDB＝45°，∠ADC＝90°，

在△PDA和△PDC中，

，

∴△PDA≌△PDC，

∴PA＝PC，∠3＝∠1，

∵PA＝PE，

∴∠2＝∠3，

∴∠1＝∠2，

∵∠EDF＝90°，∠DFE＝∠PFC，

∴∠FPC＝EDF＝90°，

∴△PEC是等腰直角三角形．

（2）解：如图2中，结论：△PCE是等边三角形．

理由：∵四边形ABCD是菱形，

∴AD＝DC，∠ADB＝∠CDB，∠ADC＝∠ABC＝120°，

在△PDA和△PDC中，

，

∴△PDA≌△PDC，

∴PA＝PC，∠3＝∠1，

∵PA＝PE，

∴∠2＝∠3，PA═PE＝PC，

∴∠1＝∠2，

∵∠DFE＝∠PFC，

∴∠EPC＝∠EDC，

∵∠ADC＝120°，

∴∠EDC＝60°，

∴∠EPC＝60°，

∵PE＝PC，

∴△PEC是等边三角形．