【题目】如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，点A、B在x轴上，点C、D在第二象限，点M是BC中点.已知AB=6，AD=8，∠DAB=60°，点B的坐标为（-6，0）．

（1）求点D和点M的坐标；

（2）如图①，将□ABCD沿着x轴向右平移a个单位长度，点D的对应点和点M的对应点恰好在反比例函数（x>0）的图像上，请求出a的值以及这个反比例函数的表达式；

（3）如图②，在（2）的条件下，过点M，作直线l，点P是直线l上的动点，点Q是平面内任意一点，若以，P、Q为顶点的四边形是矩形，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标．

参考答案：

【答案】（1）D点坐标为，M点坐标为；（2）a=12，反比例函数解析式为：；（3）Q点坐标为或或或.

【解析】

（1）过点D作DH⊥x轴于点H，求出AH和DH的长，即可求出D点坐标，再根据M为BC中点，求出M的坐标即可；

（2）写出平移后，的坐标，再根据，都在反比例函数上，建立方程求出即可；

（3）设P点坐标为，分别讨论①当∠90°时，②当∠90°时，③当∠90°时，建立方程解出m，从而求出Q点坐标.

（1）过点D作DH⊥x轴于点H，

∵AD=8，∠DAB=60°，

∴AH=4，DH=，

∵AB=6，点B的坐标为（-6，0），

∴H点坐标为（-8,0），

∴D点坐标为，

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴C点坐标为，

∵M为BC中点，

∴M点坐标为；

（2）将□ABCD沿着x轴向右平移a个单位长度，

∴的坐标为，的坐标为，

∵，都在反比例函数图像上，

∴把，代入反比例函数中，得，

解得：，

∴反比例函数解析式为：；

（3）过点M，作直线l，

则直线l的解析式为：，

∴设P点坐标为，

由（2）知，

的坐标为（6，0），

的坐标为，

则，

，

，

若以，P，Q为顶点的四边形是矩形，分情况讨论：

①当∠90°时，

则，即，

解得：m=16，

则P点坐标为，

则Q点坐标为；

②当∠90°时，

则，即，

解得：m=0，

则P点坐标为，

则Q点坐标为；

③当∠90°时，

则，即，

解得： ，

则P点坐标为或，

则对应的Q点坐标为或；

综上，Q点坐标为或或或.

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