Question

【题目】（1）问题发现

如图1，四边形ABCD为矩形，AB=a，BC=b，点P在矩形ABCD的对角线AC上，Rt△PEF的两条直角边PE，PF分别交BC，DC于点M，N，当PM⊥BC，PN⊥CD时， =　 　（用含a，b的代数式表示）．

（2）拓展探究

在（1）中，固定点P，使△PEF绕点P旋转，如图2，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．

（3）问题解决

如图3，四边形ABCD为正方形，AB=BC=a，点P在对角线AC上，M，N分别在BC，CD上，PM⊥PN，当AP=nPC时，（n是正实数），直接写出四边形PMCN的面积是　 　（用含n，a的代数式表示）

Answer 1

【答案】(1);(2)见解析;(3)

【解析】分析：（1）先判断出△PMC∽△ABC，得出，再判断出四边形CNPM是矩形，即可得出结论；
（2）先过P作PG⊥BC于G，作PH⊥CD于H，判定△PGM∽△PHN，再根据相似三角形的性质以及平行线分线段成比例定理进行推导计算即可；
（3）先判定△PMC∽△ABC，再根据相似三角形的对应边成比例进行求解，再计算其面积；

详解：

（1）∵四边形ABCD是矩形，

∴AB⊥BC，

∵PM⊥BC，

∴△PMC∽△ABC

∴

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠BCD=90°，

∵PM⊥BC，PN⊥CD，

∴∠PMC=∠PNC=90°=∠BCD，

∴四边形CNPM是矩形，

∴CM=PN，

∴，

故答案为；

（2）如图3，过P作PG⊥BC于G，作PH⊥CD于H，则∠PGM=∠PHN=90°，∠GPH=90°

∵Rt△PEF中，∠FPE=90°

∴∠GPM=∠HPN

∴△PGM∽△PHN

∴

由PG∥AB，PH∥AD可得，,

∵AB=a，BC=b

∴，即,

∴，

故答案为 ；

（3）∵PM⊥BC，AB⊥BC

∴△PMC∽△ABC

∴

当AP=nPC时（n是正实数），

∴PM=a

∴四边形PMCN的面积=，

故答案为：．