Question

【题目】如图，AB是⊙O直径，直径AB⊥弦CD于点E，四边形ADCF是平行四边形，CD=4，BE=2．

（1）求⊙O直径和弦AD的长；

（2）求证：FC是⊙O切线．

Answer 1

【答案】（1）⊙O直径为8，弦AD长为4．（2）见解析

【解析】

试题分析：（1）设⊙O的半径为r，连接OC，则OC=r，OE=r﹣2，根据垂径定理得到CE=CD=2，然后根据勾股定理得到r2=（r﹣2）2+（2）2，求得r=4，从而求得AE=6，在Rt△AED中，根据勾股定理即可求得AD；

（2）连结OF，由四边形ABCD是平行四边形得到AF∥DC，则AB⊥AF，即：∠FAO=90°，然后证得平行四边形ADCF是菱形，得出FC=AF，证得△FCO≌△FAO，得出根据切线的判定得到∠FCO=∠FAO=90°，即可证得FC为⊙O的切线．

解：（1）设⊙O的半径为r，连接OC，则OC=r，OE=r﹣2

∵直径AB⊥弦CD

∴CE=CD=×4=2，

在Rt△OCE中：OC2=CE2+OE2 即：r2=（r﹣2）2+（2）2，

解得：r=4，

∴AE=2×4﹣2=6，

在Rt△AED中：AD===4，

∴⊙O直径为8，弦AD长为4．

（2）连结OF，

∵平行四边形ADCF中AF∥CD

又∵AB⊥CD，

∴AB⊥AF，即：∠FAO=90°，

由（1）可知AD=CD=4，

∴平行四边形ADCF是菱形，

∴FC=AF，

在△FCO和△FAO中，

∴△FCO≌△FAO（SSS），

∴∠FCO=∠FAO=90°即：OC⊥FC

∴FC是⊙O切线．