Question

【题目】若等腰三角形的顶角为36°，则这个三角形就是黄金三角形。如图，在△ABC中，BA=BC，D 在边 CB 上，且 DB=DA=AC。

（1）如图1，写出图中所有的黄金三角形，并证明；

（2）若 M为线段 BC上的点，过 M作直线MH⊥AD于 H，分别交直线 AB，AC与点N，E，如图 2，试写出线段 BN、CE、CD之间的数量关系，并加以证明.

Answer 1

【答案】（1）△ABC和△ADC为黄金三角形，证明见解析；（2）CD=BN+CE，证明见解析.

【解析】

（1）BA=BC，且DB=DA=AC可得∠C=∠ADC=∠BAC=2∠B，∠DAC=∠B，在△ADC中由三角形内角和可求得∠B=∠DAC=36°，所以可得△ABC和△ADC为黄金三角形；

（2）由（1）可知∠BAD=∠CAD=36°，且∠AHN=∠AHE=90°，可求得∠ANH=∠AEH=54°，可得AN=AE，再借助已知利用线段的和差可得CD=BN+CE．

（1）△ABC和△ADC为黄金三角形，理由如下：

∵BA=BC，
∴∠BCA=∠BAC，
∵DA=DB，
∴∠BAD=∠B，
∵AD=AC，
∴∠ADC=∠C=∠BAC=2∠B，
∴∠DAC=∠B，
∵∠DAC+∠ADC+∠C=180°，
∴2∠B+2∠B+∠B=180°，
∴∠B=∠DAC =36°

∵△ABC和△ADC为等腰三角形，顶角∠B=∠DAC =36°

∴△ABC和△ADC为黄金三角形；

（2）CD=BN+CE．证明如下：

在△ADB中，∵DB=DA，∠B=36°，
∴∠BAD=36°，
在△ACD中，∵AD=AC，
∴∠ACD=∠ADC=72°，
∴∠CAD=36°，
∴∠BAD=∠CAD=36°，
∵MH⊥AD，
∴∠AHN=∠AHE=90°，
∴∠AEN=∠ANE=54°，
∴AN=AE，
又∵BA=BC，DB=AC，
∴BN=AB-AN=BC-AE，CE=AE-AC=AE-BD，
∴BN+CE=BC-BD=CD，
即CD=BN+CE.