Question

【题目】如图，已知△ABC，按如下步骤作图：

①分别以A、C为圆心，以大于 AC的长为半径在AC两边作弧，交于两点M、N；
②连接MN，分别交AB、AC于点D、O；
③过C作CE∥AB交MN于点E，连接AE、CD．
（1）求证：四边形ADCE是菱形；
（2）当∠ACB=90°，BC=6，△ADC的周长为18时，求四边形ADCE的面积．

Answer 1

【答案】
（1）证明：由题意可知：

∵分别以A、C为圆心，以大于 AC的长为半径在AC两边作弧，交于两点M、N；

∴直线DE是线段AC的垂直平分线，

∴AC⊥DE，即∠AOD=∠COE=90°；

且AD=CD、AO=CO，

又∵CE∥AB，

∴∠1=∠2，

在△AOD和△COE中

，

∴△AOD≌△COE（AAS），

∴OD=OE，

∵A0=CO，DO=EO，

∴四边形ADCE是平行四边形，

又∵AC⊥DE，

∴四边形ADCE是菱形

（2）解：当∠ACB=90°时，

OD∥BC，

即有△ADO∽△ABC，

∴ ，

又∵BC=6，

∴OD=3，

又∵△ADC的周长为18，

∴AD+AO=9，

即AD=9﹣AO，

∴OD= =3，

可得AO=4，

∴DE=6，AC=8，

∴S= ACDE= ×8×6=24

【解析】（1）利用直线DE是线段AC的垂直平分线，得出AC⊥DE，即∠AOD=∠COE=90°，进而得出△AOD≌△COE，即可得出四边形ADCE是菱形；（2）利用当∠ACB=90°时，OD∥BC，即有△ADO∽△ABC，即可得出AC和DE的长即可得出四边形ADCE的面积．
【考点精析】掌握线段垂直平分线的性质和勾股定理的概念是解答本题的根本，需要知道垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线；线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等；直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2．