Question

【题目】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是BC的中点，DE⊥BC，CE∥AD，若AC=2，∠ADC=30°，
①四边形ACED是平行四边形；
②△BCE是等腰三角形；
③四边形ACEB的周长是10+2 ；
④四边形ACEB的面积是16．
则以上结论正确的是（ ）

A.①②③
B.①②④
C.①③④
D.②④

Answer 1

【答案】A
【解析】解：①∵∠ACB=90°，DE⊥BC，
∴∠ACD=∠CDE=90°，
∴AC∥DE，
∵CE∥AD，
∴四边形ACED是平行四边形，故①正确；
②∵D是BC的中点，DE⊥BC，
∴EC=EB，
∴△BCE是等腰三角形，故②正确；
③∵AC=2，∠ADC=30°，
∴AD=4，CD=2 ，
∵四边形ACED是平行四边形，
∴CE=AD=4，
∵CE=EB，
∴EB=4，DB=2 ，
∴CB=4 ，
∴AB= =2 ，
∴四边形ACEB的周长是10+2 故③正确；
④四边形ACEB的面积： ×2×4 + ×4 ×2=8 ，故④错误，
故选：A．

证明AC∥DE，再由条件CE∥AD可证明四边形ACED是平行四边形；根据线段的垂直平分线证明AE=EB可得△BCE是等腰三角形；首先利用三角函数计算出AD=4，CD=2 ，再算出AB长可得四边形ACEB的周长是10+2 ，利用△ACB和△CBE的面积和可得四边形ACEB的面积．