Question

【题目】探究题
问题再现：
数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题．初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．
例如：利用图形的几何意义证明完全平方公式．
证明：将一个边长为a的正方形的边长增加b，形成两个矩形和两个正方形，如图1：

这个图形的面积可以表示成：
（a+b）2或a2+2ab+b2
∴（a+b）2 =a2+2ab+b2
这就验证了两数和的完全平方公式．
（1）类比解决：
请你类比上述方法，利用图形的几何意义证明平方差公式．（要求画出图形并写出推理过程）
（2）问题提出：如何利用图形几何意义的方法证明：13+23=32？
如图2，

A表示1个1×1的正方形，即：1×1×1=13
B表示1个2×2的正方形，C与D恰好可以拼成1个2×2的正方形，因此：B、C、D就可以表示2个2×2的正方形，即：2×2×2=23
而A、B、C、D恰好可以拼成一个（1+2）×（1+2）的大正方形．
由此可得：13+23=（1+2）2=32
尝试解决：
请你类比上述推导过程，利用图形的几何意义确定：13+23+33= ． （要求写出结论并构造图形写出推证过程）．
（3）问题拓广：
请用上面的表示几何图形面积的方法探究：13+23+33+…+n3= ． （直接写出结论即可，不必写出解题过程）

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵如图，左图的阴影部分的面积是a2﹣b2，

右图的阴影部分的面积是（a+b）（a﹣b），

∴a2﹣b2=（a+b）（a﹣b），

这就验证了平方差公式；

（2）如图，A表示1个1×1的正方形，即1×1×1=13；
B表示1个2×2的正方形，C与D恰好可以拼成1个2×2的正方形，
因此：B、C、D就可以表示2个2×2的正方形，即：2×2×2=23；
G与H，E与F可以表示3个3×3的正方形，即3×3×3=33；
而整个图形恰好可以拼成一个（1+2+3）×（1+2+3）的大正方形，
由此可得：13+23+33=（1+2+3）2=62；
故答案为：62；
（3）解：[ n（n+1）]2
【解析】（3）由上面表示几何图形的面积探究可知，13+23+33+…+n3=（1+2+3+…+n）2 ，
又∵1+2+3+…+n= n（n+1），
∴13+23+33+…+n3=[ n（n+1）]2 ．
所以答案是：[ n（n+1）]2 ．