Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，AD=8cm，点P从点A出发沿AD向点D匀速运动，速度是1cm/s；同时，点Q从点C出发沿CB方向，在射线CB上匀速运动，速度是2cm/s，过点P作PE∥AC交DC于点E，连接PQ、QE，PQ交AC于F．设运动时间为t（s）（0＜t＜8），解答下列问题：
（1）当t为何值时，四边形PFCE是平行四边形；
（2）设△PQE的面积为s（cm2），求s与t之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使得△PQE的面积为矩形ABCD面积的 ；
（4）是否存在某一时刻t，使得点E在线段PQ的垂直平分线上．

Answer 1

【答案】
（1）

解：当PQ∥CD时，四边形PFCE是平行四边形，

此时，四边形PQCD是平行四边形，

则PD=CQ，即8﹣t=2t，

解得，t= ，

即当t= 时，四边形PFCE是平行四边形

（2）

解：∵PE∥AC，

∴△DPE∽△DAC，

∴ = = ，即 = = ，

解得，DE=6﹣ t，PE=10﹣ t，

则CE= t，

∴y=S四边形PQCD﹣S△PDE﹣S△ECQ

= ×（8﹣t+2t）×6﹣ ×（8﹣t+2t）×（6﹣ t）﹣ ×2t× t

=﹣ t2+9t，

即s与t之间的函数关系式为：y=﹣ t2+9t

（3）

解：矩形ABCD面积为：6×8=48，

由题意得，﹣ t2+9t=48× ，

解得，t=2或6；

（4）

解：当点E在线段PQ的垂直平分线上时，EP=EQ，

由勾股定理得，（2t）2+（ t）2=（8﹣t）2+（6﹣ t）2，

解得，t1= （舍去），t2= ，

答：t= 时，点E在线段PQ的垂直平分线上

【解析】（1）根据平行四边形的性质列出方程，解方程即可；（2）证明△DPE∽△DAC，根据相似三角形的性质用t表示出DE、CE、PE，根据面积公式计算即可；（3）根据题意列出一元二次方程，解方程即可；（4）根据线段垂直平分线的性质、勾股定理列式计算．