Question

【题目】如图，△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=6．P是底边BC上的一个动点（P与B、C不重合），以P为圆心，PB为半径的⊙P与射线BA交于点D，射线PD交射线CA于点E．

（1）若点E在线段CA的延长线上，设BP=x，AE=y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围．
（2）当BP=2 时，试说明射线CA与⊙P是否相切．
（3）连接PA，若S△APE= S△ABC ， 求BP的长．

Answer 1

【答案】
（1）解：过A作AF⊥BC于F，过P作PH⊥AB于H，

∵∠BAC=120°，AB=AC=6，

∴∠B=∠C=30°，

∵PB=PD，

∴∠PDB=∠B=30°，CF=ACcos30°=6× =3 ，

∴∠ADE=30°，

∴∠DAE=∠CPE=60°，

∴∠CEP=90°，

∴CE=AC+AE=6+y，

∴PC= = ，

∵BC=6 ，

∴PB+CP=x+ =6 ，

∴y=﹣ x+3，

∵BD=2BH= x＜6，

∴x＜2 ，

∴x的取值范围是0＜x＜2

（2）解：∵BP=2 ，∴CP=4 ，

∴PE= PC=2 =PB，

∴射线CA与⊙P相切

（3）解：当D点在线段BA上时，

连接AP，

∵S△ABC= BCAF= ×6 ×3=9 ，

∵S△APE= AEPE= y ×（6+y）= S△ABC= ，

解得：y= ，代入y=﹣ x+3得x=4 ﹣ ．

当D点BA延长线上时，

PC= EC= （6﹣y），

∴PB+CP=x+ （6﹣y）=6 ，

∴y= x﹣3，

∵∠PEC=90°，

∴PE= = = （6﹣y），

∴S△APE= AEPE= x= y （6﹣y）= S△ABC= ，

解得y= 或 ，代入y= x﹣3得x=3 或5 ．

综上可得，BP的长为4 ﹣ 或3 或5 ．

【解析】（1）过A作AF⊥BC于F，过P作PH⊥AB于H，根据等腰三角形的性质得到CF=ACcos30°=6× =3 ，推出∠CEP=90°，求得CE=AC+AE=6+y，列方程PB+CP=x+ =6 ，于是得到y=﹣ x+3，根据BD=2BH= x＜6，即可得到结论；（2）根据已知条件得到PE= PC=2 =PB，于是得到射线CA与⊙P相切；（3）D在线段BA上和延长线上两种情况，根据三角形的面积列方程即可得到结果．本题考查了直线与圆的位置关系，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形面积的计算，求一次函数的解析式，证得PE⊥AC是解题的关键．