Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A（﹣8，3），B（﹣4，0），C（﹣4，3），∠ABC=α°．抛物线y= x2+bx+c经过点C，且对称轴为x=﹣ ，并与y轴交于点G．

（1）求抛物线的解析式及点G的坐标；
（2）将Rt△ABC沿x轴向右平移m个单位，使B点移到点E，然后将三角形绕点E顺时针旋转α°得到△DEF．若点F恰好落在抛物线上．
①求m的值；
②连接CG交x轴于点H，连接FG，过B作BP∥FG，交CG于点P，求证：PH=GH．

Answer 1

【答案】
（1）

解：根据题意得：

解得：

∴抛物线的解析式为：y= x2+ x- ，点G（0，﹣ ）

（2）

解：①过F作FM⊥y轴，交DE于M，交y轴于N，

由题意可知：AC=4，BC=3，则AB=5，FM= ，

∵Rt△ABC沿x轴向右平移m个单位，使B点移到点E，

∴E（﹣4+m，0），OE=MN=4﹣m，FN= ﹣（4﹣m）=m﹣ ，

在Rt△FME中，由勾股定理得：EM= = ，

∴F（m﹣ ， ），

∵F抛物线上，

∴ = （m﹣ ）2+ （m﹣ ）﹣ ，

5m2﹣8m﹣36=0，

m1=﹣2（舍）， ；

②易求得FG的解析式为：y= x﹣ ，

CG解析式为：y=﹣ x﹣ ，

∴ x﹣ =0，x=1，则Q（1，0），

﹣ x﹣ =0，x=﹣1.5，则H（﹣1.5，0），

∴BH=4﹣1.5=2.5，HQ=1.5+1=2.5，

∴BH=QH，

∵BP∥FG，

∴∠PBH=∠GQH，∠BPH=∠QGH，

∴△BPH≌△QGH，

∴PH=GH．

【解析】（1）把点C坐标代入y= x2+bx+c得一方程，利用对称轴公式得另一方程，组成方程组求出解析式，并求出G点的坐标；（2）①作辅助线，构建直角△DEF斜边上的高FM，利用直角三角形的面积相等和勾股定理可表示F的坐标，根据点F在抛物线上，列方程求出m的值；②F点和G点坐标已知，可以求出直线FG的方程，那么FG和x轴的交点坐标（设为Q）可以知道，C点坐标已知，CG的方程也可以求出，那么H点坐标可以求出，可以证明△BPH和△MGH全等．本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数（二次函数、一次函数）的解析式，利用解析式求与坐标轴交点坐标，利用面积法求斜边上的高及三角形全等的性质等；综合性较强，但难度不大，是一道不错的中考压轴题．
【考点精析】本题主要考查了确定一次函数的表达式和全等三角形的性质的相关知识点，需要掌握确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式y=kx+b（k不等于0）中的常数k和b．解这类问题的一般方法是待定系数法；全等三角形的对应边相等; 全等三角形的对应角相等才能正确解答此题．