Question

【题目】在数学活动课上，小明提出这样一个问题：∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，如图．大家一起热烈地讨论交流，小英第一个得出如下结论：（1）AE平分∠DAB；（2）△EBA≌△DCE；（3）AB+CD=AD；（4）AE⊥DE；（5）AB∥CD．其中正确的结论是_____．（将你认为正确结论的序号都填上）

Answer 1

【答案】（1）（3）（4）（5）．

【解析】

可以通过作辅助线来得解，取AD的中点F，连接EF．根据平行线的性质可证得（1）（4）（5），根据梯形中位线定理可证得（3）正确．根据全等三角形全等的判定可证得（2）的正误，即可得解．

如图：取AD的中点F，连接EF．

∵∠B=∠C=90°，
∴AB∥CD；[结论（5）正确]，
∵E是BC的中点，F是AD的中点，
∴EF∥AB∥CD，2EF=AB+CD（梯形中位线定理）①；
∴∠CDE=∠DEF（两直线平等，内错角相等），
∵DE平分∠ADC，
∴∠CDE=∠FDE=∠DEF，
∴DF=EF；
∵F是AD的中点，∴DF=AF，
∴AF=DF=EF②，
由①得AF+DF=AB+CD，即AD=AB+CD；[结论（3）正确]，
由②得∠FAE=∠FEA，
由AB∥EF可得∠EAB=∠FEA，
∴∠FAE=∠EAB，即EA平分∠DAB；[结论（1）正确]，
由结论（1）和DE平分∠ADC，且DC∥AB，可得∠EDA+∠DAE=90°，则∠DEA=90°，即AE⊥DE；[结论（4）正确]．
由以上结论及三角形全等的判定方法，无法证明△EBA≌△DCE，结论（2）错误．
正确的结论有（1）（3）（4）（5），
故答案为：（1）（3）（4）（5）．