Question

【题目】如图，矩形ABCD中，延长AB至E，延长CD至F，BE=DF，连接EF，与BC、AD分别相交于P、Q两点．

（1）求证：CP=AQ；
（2）若BP=1，PQ=2 ，∠AEF=45°，求矩形ABCD的面积．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A=∠ABC=∠C=∠ADC=90°，AB=CD，AD=BC，AB∥CD，AD∥BC，

∴∠E=∠F，

∵BE=DF，

∴AE=CF，

在△CFP和△AEQ中， ，

∴△CFP≌△AEQ（ASA），

∴CP=AQ

（2）解：∵AD∥BC，

∴∠PBE=∠A=90°，

∵∠AEF=45°，

∴△BEP、△AEQ是等腰直角三角形，

∴BE=BP=1，AQ=AE，

∴PE= BP= ，

∴EQ=PE+PQ= +2 =3 ，

∴AQ=AE=3，

∴AB=AE﹣BE=2，

∵CP=AQ，AD=BC，

∴DQ=BP=1，

∴AD=AQ+DQ=3+1=4，

∴矩形ABCD的面积=ABAD=2×4=8

【解析】（1）由矩形的性质得出∠A=∠ABC=∠C=∠ADC=90°，AB=CD，AD=BC，AB∥CD，AD∥BC，证出∠E=∠F，AE=CF，由ASA证明△CFP≌△AEQ，即可得出结论；（2）证明△BEP、△AEQ是等腰直角三角形，得出BE=BP=1，AQ=AE，求出PE= BP= ，得出EQ=PE+PQ=3 ，由等腰直角三角形的性质和勾股定理得出AQ=AE=3，求出AB=AE﹣BE=2，DQ=BP=1，得出AD=AQ+DQ=4，即可求出矩形ABCD的面积．本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．