Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，连结DE并延长，与BC的延长线交于点F．
（1）求证：BD=BF；
（2）若BC=6，AD=4，求sinA的值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连结OE．

∵AC切⊙O于E，

∴OE⊥AC，

又∵∠ACB=90°即BC⊥AC，

∴OE∥BC

∴∠OED=∠F．

又∵OD=OE，

∴∠OED=∠ODE，

∴∠ODE=∠F

∴BD=BF

（2）解：设⊙O半径为r，由（1）知，OE∥BC得△AOE∽△ABC．

∴ ，即 ，

∴r2﹣r﹣12=0，

解之得r1=4，r2=﹣3（舍去）．

在Rt△AOE中，

∴sinA=

【解析】（1）利用三角形中位线定理证得OE∥BC．所以由平行线的性质、等腰三角形的性质推知∠ODE=∠F，则易证得结论；（2）设⊙O半径为r．根据相似三角形△AOE∽△ABC的对应边成比例列出关于半径r的方程，通过解方程即可求得r的值．然后通过解Rt△AOE来求sinA的值．
【考点精析】关于本题考查的切线的性质定理和相似三角形的判定与性质，需要了解切线的性质：1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径；相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方才能得出正确答案．