Question

【题目】如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AD=BC=5cm，AB=12cm，CD=6Cm，点P从A开始沿AB边向B以每秒3cm的速度移动，点Q从C开始沿CD边向D以每秒1cm的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设运动时间为秒.

(1)求证:当时,四边形APQD是平行四边形；

(2)PQ是否可能平分对角线BD?若能,求出当为何值时PQ平分BD；若不能,请说明理由；

(3)当PD=PQ时,求的值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）当t=3秒时，PQ平分对角线BD．（3）若△DPQ是以PQ为腰的等腰三角形，t的值为．

【解析】

（1）由题意可得当t=4秒时，两点停止运动，在运动过程中AP=3t，CQ=t，即可得BP=12-3t，DQ=6-t，由t=，即可求得AP=DQ，又由AP∥DQ，即可判定四边形APQD是平行四边形；

（2）首先连接BD交PQ于点E，若PQ平分对角线BD，则DE=BE，易证得△DEQ≌△BEP，继而可得四边形DPBQ为平行四边形，则可得6-t=12-3t，解此方程即可求得答案．

（3）分两种情况：①当PQ=PD时，作DN⊥AB于N，QM⊥AB于M，CE⊥AB与E，如图所示：则DN=QM，AN=BE=（AB-CD）=3，ME=CQ=t，得出PN=AP-AN=3t-3，PM=BP-BE-ME=9-4t，由PN=PM得出方程，解方程即可；

②当PQ=DQ=6-t时，由勾股定理得出方程，方程无解；即可得出答案．

（1）证明：∵＜，

∴当t=4秒时，两点停止运动，在运动过程中AP=3t，CQ=t，

∴BP=12-3t，DQ=6-t，

当t=时，DQ=6-=，AP=3×=，

∴AP=DQ

又∵四边形ABCD为等腰梯形，

∴AP∥DQ，

∴四边形APQD为平行四边形；

（2）解：PQ能平分对角线BD，当t=3秒时，PQ平分对角线BD．

理由如下：

连接BD交PQ于点E，如图1所示：

若PQ平分对角线BD，则DE=BE，

∵CD∥AB，

∴∠1=∠2，∠3=∠4，

在△DEQ和△BEP中，

，

∴△DEQ≌△BEP（AAS），

∴DQ=BP，

即四边形DPBQ为平行四边形，

∴6-t=12-3t，

解得t=3，符合题意，

∴当t=3秒时，PQ平分对角线BD．

（3）解：分两种情况：

①当PQ=PD时，作DN⊥AB于N，QM⊥AB于M，CE⊥AB与E，如图2所示：

则DN=QM，AN=BE=（AB-CD）=3，ME=CQ=t，

∴PN=AP-AN=3t-3，PM=BP-BE-ME=9-4t，

∵PQ=PD，

∴PN=PM，

∴3t-3=9-4t，

解得：t=；

②当PQ=DQ=6-t时，由勾股定理得：PQ2=QM2+PM2=42+（9-4t）2，

∴42+（9-4t）2=（6-t）2，

整理得：15t2-60t+61=0，

解得△＜0，方程无解；

综上所述：若△DPQ是以PQ为腰的等腰三角形，t的值为．