Question

【题目】已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A在x轴的负半轴上，直线y=﹣x+与x轴、y轴分别交于B、C两点，四边形ABCD为菱形．

（1）如图1，求点A的坐标；

（2）如图2，连接AC，点P为△ACD内一点，连接AP、BP，BP与AC交于点G，且∠APB=60°，点E在线段AP上，点F在线段BP上，且BF=AE，连接AF、EF，若∠AFE=30°，求AF2+EF2的值；

（3）如图3，在（2）的条件下，当PE=AE时，求点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）A（﹣，0）．（2）49；（3）P（﹣，3）

【解析】（1）利用勾股定理求出BC的长即可解决问题；

（2）如图2中，连接CE、CF．证明△CEF是等边三角形，AF⊥CF即可解决问题；

（3）如图3中，延长CE交FA的延长线于H，作PQ⊥AB于Q，PK⊥OC于K，在BP设截取BT=PA，连接AT、CT、CF、PC．证明△APF是等边三角形，AT⊥PB即可解决问题；

（1）如图1中，

∵y=-﹣x+，

∴B（，0），C（0，），

∴BO=，OC=，

在Rt△OBC中，BC==7，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=BC=7，

∴OA=AB-OB=7-=，

∴A（-，0）．

（2）如图2中，连接CE、CF．

∵OA=OB，CO⊥AB，

∴AC=BC=7，

∴AB=BC=AC，

∴△ABC是等边三角形，

∴∠ACB=60°，

∵∠APB=60°，

∴∠APB=∠ACB，

∵∠PAG+∠APB=∠AGB=∠CBG+∠ACB，

∴∠PAG=∠CBG，∵AE=BF，

∴△ACE≌△BCF，

∴CE=CF，∠ACE=∠BCF，

∴∠ECF=∠ACF+∠ACE=∠ACF+∠BCF=∠ACB=60°，

∴△CEF是等边三角形，

∴∠CFE=60°，EF=FC，

∵∠AFE=30°，

∴∠AFC=∠AFE+∠CFE=90°，

在Rt△ACF中，AF2+CF2=AC2=49，

∴AF2+EF2=49．

（3）如图3中，延长CE交FA的延长线于H，作PQ⊥AB于Q，PK⊥OC于K，在BP设截取BT=PA，连接AT、CT、CF、PC．

∵△CEF是等边三角形，

∴∠CEF=60°，EC=CF，

∵∠AFE=30°，∠CEF=∠H+∠EFH，

∴∠H=∠CEF-∠EFH=30°，

∴∠H=∠EFH，

∴EH=EF，

∴EC=EH，

∵PE=AE，∠PEC=∠AEH，

∴△CPE≌△HAE，

∴∠PCE=∠H，

∴PC∥FH，

∵∠CAP=∠CBT，AC=BC，

∴△ACP≌△BCT，

∴CP=CT，∠ACP=∠BCT，

∴∠PCT=∠ACB=60°，

∴△CPT是等边三角形，

∴CT=PT，∠CPT=∠CTP=60°，

∵CP∥FH，

∴∠HFP=∠CPT=60°，

∵∠APB=60°，

∴△APF是等边三角形，

∴∠CFP=∠AFC-∠∠AFP=30°，

∴∠TCF=∠CTP-∠TFC=30°，

∴∠TCF=∠TFC，

∴TF=TC=TP，

∴AT⊥PF，设 BF=m，则AE=PE=m，

∴PF=AP=2m，TF=TP=m，TB=2m，BP=3m，

在Rt△APT中，AT=m，

在Rt△ABT中，∵AT2+TB2=AB2，

∴（m）2+（2m）2=72，

解得m=或-（舍弃），

∴BF=，AT=，BP=3，sin∠ABT=，

∵OK=PQ=BPsin∠PBQ=3×=3，BQ==6，

∴OQ=BQ-BO=6-=，

∴P（-，3）