Question

【题目】（10分）（1）【问题发现】小明遇到这样一个问题：

如图1，△ABC是等边三角形，点D为BC的中点，且满足∠ADE=60°，DE交等边三角形外角平分线CE所在直线于点E，试探究AD与DE的数量关系．

（1）小明发现，过点D作DF//AC，交AC于点F，通过构造全等三角形，经过推理论证，能够使问题得到解决，请直接写出AD与DE的数量关系： ；

（2）【类比探究】如图2，当点D是线段BC上（除B，C外）任意一点时（其它条件

不变），试猜想AD与DE之间的数量关系，并证明你的结论．

（3）【拓展应用】当点D在线段BC的延长线上，且满足CD=BC（其它条件不变）时，

请直接写出△ABC与△ADE的面积之比．

Answer 1

【答案】（1）AD=DE；（2）AD=DE，证明见解析；（3）．

【解析】

试题分析：本题难度中等。主要考查学生对探究例子中的信息进行归纳总结。并能够结合三角形的性质是解题关键。

试题解析：（10分）

（1）AD=DE．

（2）AD=DE．

证明：如图2，过点D作DF//AC，交AC于点F,

∵△ABC是等边三角形，

∴AB=BC，∠B=∠ACB=∠ABC=60°．

又∵DF//AC，

∴∠BDF=∠BFD=60°

∴△BDF是等边三角形，BF=BD，∠BFD=60°，

∴AF=CD，∠AFD=120°．

∵EC是外角的平分线，

∠DCE=120°=∠AFD．

∵∠ADC是△ABD的外角，

∴∠ADC=∠B+∠FAD=60°+∠FAD．

∵∠ADC=∠ADE+∠EDC=60°+∠EDC，

∴∠FAD=∠EDC．

∴△AFD≌△DCE（ASA），

∴AD=DE；

（3）．