Question

【题目】如图，直线y=﹣ x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y=﹣ x2+bx+c经过点A，B．

（1）求点B的坐标和抛物线的解析式；
（2）M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N．
①点M在线段OA上运动，若以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标；
②点M在x轴上自由运动，若三个点M，P，N中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），则称M，P，N三点为“共谐点”．请直接写出使得M，P，N三点成为“共谐点”的m的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵y=﹣ x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，

∴0=﹣2+c，解得c=2，

∴B（0，2），

∵抛物线y=﹣ x2+bx+c经过点A，B，

∴ ，解得 ，

∴抛物线解析式为y=﹣ x2+ x+2

（2）

解：①由（1）可知直线解析式为y=﹣ x+2，

∵M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N，

∴P（m，﹣ m+2），N（m，﹣ m2+ m+2），

∴PM=﹣ m+2，PA=3﹣m，PN=﹣ m2+ m+2﹣（﹣ m+2）=﹣ m2+4m，

∵△BPN和△APM相似，且∠BPN=∠APM，

∴∠BNP=∠AMP=90°或∠NBP=∠AMP=90°，

当∠BNP=90°时，则有BN⊥MN，

∴BN=OM=m，

∴ = ，即 = ，解得m=0（舍去）或m=2，

∴M（2，0）；

当∠NBP=90°时，则有 = ，

∵A（3，0），B（0，2），P（m，﹣ m+2），

∴BP= = m，AP= = （3﹣m），

∴ = ，解得m=0（舍去）或m= ，

∴M（ ，0）；

综上可知当以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似时，点M的坐标为（2，0）或（ ，0）；

②由①可知M（m，0），P（m，﹣ m+2），N（m，﹣ m2+ m+2），

∵M，P，N三点为“共谐点”，

∴有P为线段MN的中点、M为线段PN的中点或N为线段PM的中点，

当P为线段MN的中点时，则有2（﹣ m+2）=﹣ m2+ m+2，解得m=3（三点重合，舍去）或m= ；

当M为线段PN的中点时，则有﹣ m+2+（﹣ m2+ m+2）=0，解得m=3（舍去）或m=﹣1；

当N为线段PM的中点时，则有﹣ m+2=2（﹣ m2+ m+2），解得m=3（舍去）或m=﹣ ；

综上可知当M，P，N三点成为“共谐点”时m的值为 或﹣1或﹣

【解析】（1）把A点坐标代入直线解析式可求得c，则可求得B点坐标，由A、B的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）①由M点坐标可表示P、N的坐标，从而可表示出MA、MP、PN、PB的长，分∠NBP=90°和∠BNP=90°两种情况，分别利用相似三角形的性质可得到关于m的方程，可求得m的值；②用m可表示出M、P、N的坐标，由题意可知有P为线段MN的中点、M为线段PN的中点或N为线段PM的中点，可分别得到关于m的方程，可求得m的值．
【考点精析】关于本题考查的线段的中点和相似三角形的判定与性质，需要了解线段的中点到两端点的距离相等；相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方才能得出正确答案．