Question

【题目】如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（﹣1，0）、B（4，0）、C（0，2）三点．

（1）求该二次函数的解析式；
（2）点D是该二次函数图象上的一点，且满足∠DBA=∠CAO（O是坐标原点），求点D的坐标；
（3）点P是该二次函数图象上位于一象限上的一动点，连接PA分别交BC，y轴与点E、F，若△PEB、△CEF的面积分别为S1、S2 ， 求S1﹣S2的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由题意可得 ，解得 ，

∴抛物线解析式为y=﹣ x2+ x+2；

（2）

解：当点D在x轴上方时，过C作CD∥AB交抛物线于点D，如图1，

∵A、B关于对称轴对称，C、D关于对称轴对称，

∴四边形ABDC为等腰梯形，

∴∠CAO=∠DBA，即点D满足条件，

∴D（3，2）；

当点D在x轴下方时，

∵∠DBA=∠CAO，

∴BD∥AC，

∵C（0，2），

∴可设直线AC解析式为y=kx+2，把A（﹣1，0）代入可求得k=2，

∴直线AC解析式为y=2x+2，

∴可设直线BD解析式为y=2x+m，把B（4，0）代入可求得m=﹣8，

∴直线BD解析式为y=2x﹣8，

联立直线BD和抛物线解析式可得 ，解得 或 ，

∴D（﹣5，﹣18）；

综上可知满足条件的点D的坐标为（3，2）或（﹣5，﹣18）；

（3）

解：过点P作PH∥y轴交直线BC于点H，如图2，

设P（t，﹣ t2+ t+2），

由B、C两点的坐标可求得直线BC的解析式为y=﹣ x+2，

∴H（t，﹣ t+2），

∴PH=yP﹣yH=﹣ t2+ t+2﹣（﹣ t+2）=﹣ t2+2t，

设直线AP的解析式为y=px+q，

∴ ，解得 ，

∴直线AP的解析式为y=（﹣ t+2）（x+1），令x=0可得y=2﹣ t，

∴F（0，2﹣ t），

∴CF=2﹣（2﹣ t）= t，

联立直线AP和直线BC解析式可得 ，解得x= ，即E点的横坐标为 ，

∴S1= PH（xB﹣xE）= （﹣ t2+2t）（5﹣ ），S2= ，

∴S1﹣S2= （﹣ t2+2t）（5﹣ ）﹣ =﹣ t2+5t=﹣ （t﹣ ）2+ ，

∴当t= 时，有S1﹣S2有最大值，最大值为 ．

【解析】（1）由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）当点D在x轴上方时，则可知当CD∥AB时，满足条件，由对称性可求得D点坐标；当点D在x轴下方时，可证得BD∥AC，利用AC的解析式可求得直线BD的解析式，再联立直线BD和抛物线的解析式可求得D点坐标；（3）过点P作PH∥y轴交直线BC于点H，可设出P点坐标，从而可表示出PH的长，可表示出△PEB的面积，进一步可表示出直线AP的解析式，可求得F点的坐标，联立直线BC和PA的解析式，可表示出E点横坐标，从而可表示出△CEF的面积，再利用二次函数的性质可求得S1﹣S2的最大值．
【考点精析】解答此题的关键在于理解二次函数的图象的相关知识，掌握二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点，以及对二次函数的性质的理解，了解增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小．