Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，AD＝AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：①△ABE≌△AHD；②HE＝CE；③H是BF的中点；④AB＝HF；其中正确命题的个数为__________个．

Answer 1

【答案】3

【解析】

根据题意，可知，ABE与AHD是等腰直角三角形，进而可得，AH=AB，AD=AE，根据三角形全等的判定方法，可证△ABE≌△AHD，①正确；根据矩形，等腰直角三角形和全等三角形的性质，可知，DH=AH=AB=BE，AD=AE=BC，进而，可得HE=CE，②正确；

根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理，可得∠EBH=∠OHD=22.5°，进而可证明BEHHDF，即即H是BF的中点，③正确；由AB=AH，∠BAE=45°，可知，ABH不是等边三角形，进而可知，④错误.

∵在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，

∴∠BAE=∠HAD=45°，∠ABE=∠AHD=90°，

∴ABE与AHD是等腰直角三角形，

∴AD＝AH，AE＝AB，

∵AD＝AB，

∴AH=AB，AD=AE，

在ABE与AHD中，

∵

∴△ABE≌△AHD（SAS），故①正确；

∵在矩形ABCD中，ABE与AHD是等腰直角三角形，△ABE≌△AHD，

∴DH=AH=AB=BE，AD=AE=BC

∴AE-AH=BC-BE ，

∴HE=CE，故②正确；

∵AB=AH，

∴，

∴∠OHE=∠AHB=67.5°，

∴∠DHO=90°-67.5°=22.5°，

∵∠EBH=90°-67.5°=22.5°，

∴∠EBH=∠OHD，

在BEH和HDF中

∴BEHHDF（ASA），

∴BH=HF，

即H是BF的中点，故③正确；

∵AB=AH，∠BAE=45°，

∴ABH不是等边三角形，

∴AB≠BH，

∴AB≠HF，故④错误，

综上所述，正确命题有3个，

故答案是：3