Question

【题目】据我国古代《周髀算经》记载，大约公元1120年，商高曾对周公说过一段话，其意思是将一根直尺折成一个直角，两端连接得一个直角三角形，如果勾是三，股是四，那么弦就等于五，后人概括为“勾三股四弦五”。

（1）观察：3，4，5； 5，12，13； 7，24，25……发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过。计算， 与， 并根据发现的规律，分别写出能表示7，24，25的股和弦的算式；

（2）根据（1）的规律，用n（n为奇数且n≥3）的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦，合理猜想它们之间的两种相等关系并对其一种猜想加以说明。

Answer 1

【答案】（1）， ；（2）勾、股、弦的算式为n， ，

两种相等关系为： ，

理由见解析

【解析】试题分析：（1）根据所提供的例子发现股是勾的平方减去1的二分之一，弦是勾的平方加1的二分之一；
（2）①：弦股=1;关系式②：勾2+股2=弦2.

试题解析：(1)∵

∴7,24,25的股的算式为

弦的算式为

(2)当n为奇数且,勾、股、弦的代数式分别为：

例如关系式①：弦股=1;关系式②：勾2+股2=弦2.

证明关系式①：弦股

或证明关系式②：勾2+股2=弦2.

∴猜想得证;