Question

【题目】如图，某校园内有一块菱形的空地ABCD，为了美化环境，现要进行绿化，计划在中间建设一个面积为S的矩形绿地EFGH.其中，点E，F，G，H分别在菱形的四条边上，AB＝a米，BE＝BF＝DG＝DH＝x米，∠A＝60°.

(1)求S关于x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；

(2)若a＝100，求S的最大值，并求出此时x的值．

Answer 1

【答案】（1）S＝－x2＋ax (0＜x＜a)；（2）2 500.

【解析】试题分析：设BE=x,∠A＝60°，AGE是等边三角形,可得GE, ∠ADC＝120°利用特殊直角三角形可以求得HG的长，所以可求得S面积.

(2)配方二次函数求最值，此时需要注意定义域问题.

试题解析：(1)∵四边形ABCD是菱形，

∴AB＝AD＝a米．

∵BE＝BF＝DH＝DG＝x米，∠A＝60°，

∴AE＝AG＝(a－x)米，∠ADC＝120°.

∴△AGE是等边三角形，即GE＝(a－x)米．

过点D作DP⊥HG于点P.

∴HG＝2HP，∠HDP＝∠ADC＝60°，则HG＝2HP＝2DHsin∠HDP＝2x× ＝x(米)．

∴S＝x(a－x)＝－x2＋ax (0＜x＜a)．

(2)当a＝100时，S＝－x2＋100x＝－ (x－50)2＋2 500.

∴当x＝50时，S取得最大值，最大值为2 500.