Question

【题目】已知：在△ABC中,∠ABC=60°,CD平分∠ACB交AB于点D,点E在线段CD上(点E不与点C. D重合)，且∠EAC=2∠EBC.

(1)如图1,若∠EBC=27°,且EB=EC,则∠DEB=___°,∠AEC=___°.

(2)如图2，①求证：AE+AC=BC；

②若∠ECB=30°，且AC=BE，求∠EBC的度数。

Answer 1

【答案】（1）27°,99°;（2）①见解析；②20°；

【解析】

（1）由等腰三角形的性质得到∠EBC=∠ECB=27°，根据角平分线的性质得到∠DEB=∠EBC+∠ECB=54°，再由角平分线的性质得到∠ACD=∠ECB=27°，因为∠EAC=2∠EBC=54°，求得∠AEC=180°-27°-54°=99°；

（2）①在BC上取一点M，使BM=ME，根据等腰三角形的性质得到∠MBE=∠MEB，由∠EAB=2∠MBE，∠EMC=∠MBE+∠MEB=2∠MBE，得到∠EAC=∠EMC，由全等三角形的性质推出AE=ME，CM=AC，于是得到结论；

②如图2，在BC上取一点M，使BM=ME，连接AM，由∠ECB=30°，得到∠ACB=60°，于是推出△AMC是等边三角形，通过三角形全等得到∠EBC=∠MAE，由∠MAC=60°，得到∠EAC=2∠EBC=2∠MAE，于是得出结果．

(1)∵EB=EC，

∴∠EBC=∠ECB=27°，

∵CD平分∠ACB，

∴∠ACD=∠ECB=27°，

∵∠EAC=2∠EBC=54°，

∴∠AEC=180°27°54°=99°，

故答案为：27°,99°;

(2)①证明：如图1，在BC上取一点M，使BM=ME，

∴∠MBE=∠MEB，

∵∠EAC=2∠MBE，∠EMC=∠MBE+∠MEB=2∠MBE，

∴∠EAC=∠EMC，

在△ACE与△MCE中，

，

∴△ACE≌△MCE，

∴AE=ME，CM=AC，

∴AE=BM，

∴BC=BM+CM=AE+AC；

②如图2在BC上取一点M,使BM=ME,连接AM,

∵∠ECB=30°，

∴∠ACB=60°,由①可知;△AMC是等边三角形(M点与B点重合)，

∴AM=AC=BE，

在△EMB与△MEA中，

，

∴∠EBC=∠MAE，

∵∠MAC=60°，

∵∠EAC=2∠EBC=2∠MAE，

∴∠MAE=20°,∠EAC=40°，

∴∠EBC=20°.