Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，⊙D的半径为1．现将一个直角三角板的直角顶点与矩形的对称中心O重合，绕着O点转动三角板，使它的一条直角边与⊙D切于点H，此时两直角边与AD交于E，F两点，则tan∠EFO的值为_____．

Answer 1

【答案】

【解析】分析: 本题可以通过证明∠EFO=∠HDE，再求出∠HDE的正切值就是∠EFO的正切值．

详解: 连接DH,作OG⊥CD于G,如图，

∵在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，

∴BD==2，

∵O是对称中心，

∴OD=BD=，

∵OG⊥CD，

∴DG=CD=1,OG=BC=2，

∴OG为O的切线，

∵OH是D的切线，

∴DH⊥OH，OH=OG=2，

∵DH=1，

∴tan∠ADB==,tan∠HOD==，

∵∠ADB=∠HOD，

∴OE=ED，

设EH为x，则ED=OE=OHEH=2x，

∴1 +x =(2x) ,解得x=，

即EH=.

又∵∠FOE=∠DHO=90°，

∴FO∥DH，

∴∠EFO=∠HDE，

∴tan∠EFO=tan∠HDE==.

点睛: 本题主要是考查切线的性质及解直角三角形的应用，关键是利用平行把已知角代换成其它相等的容易求出其正切值的角．