Question

【题目】如图1，点A、B、P分别在两坐标轴上，∠APB=60°，PB=m，PA=2m，以点P为圆心、PB为半径作⊙P，作∠OBP的平分线分别交⊙P、OP于C、D，连接AC．

（1）求证：直线AB是⊙P的切线．

（2）设△ACD的面积为S，求S关于m的函数关系式．

（3）如图2，当m=2时，把点C向右平移一个单位得到点T，过O、T两点作⊙Q交x轴、y轴于E、F两点，若M、N分别为两弧的中点，作MG⊥EF，NH⊥EF，垂足为G、H，试求MG+NH的值．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】分析: （1）根据切线的判定定理证得∠ABP=90°后即可判定切线；

（2）连接PC，根据∠APB=90°-∠OBP=∠OBA，∠OBC=∠PBC，得到∠ADB=∠PBC+∠PBC=∠ABD，从而得到∠CPA=∠POB=90°，利用三角形的面积公式得到S=m2；

（3）作TJ⊥x轴，TK⊥y轴，连接ET、FT，得到△ETJ≌△FTK，从而得到NH=NR=OF和MG=OE，最后求得MG+NH=（OE+OF）=×4=2.

详解:

（1）∵∠POB=90°，∠APB=60°，

∴PB=m，

∴PO=PB=m，OB=m，

又∵PA=2m，

∴OA=m，

在RT△OAB中，AB=m

∴PA2+AB2=PA2

∴∠ABP=90°，

∵PB是⊙P的半径，

∴直线AB是⊙P的切线．

（2）连接PC，

∵∠APB=90°-∠OBP=∠OBA，∠OBC=∠PBC，

∴∠ADB=∠PBC+∠PBC=∠ABD

∴AD=AB=m，

又∵PB=PC=m，

∴PC∥OC

∴∠CPA=∠POB=90°，

∴S△ACD=AD×CP= m×m=m2；

（3）作TG⊥x轴，TK⊥y轴，连接ET、FT，

当m=2时，PO=m，由（2）知∠CPA=90°，

∴C点为 （1，-2），

∴T为（2，-2，）TG=TK=2，

∴点T在∠EOF的平分线上，∴

∴TE=TF，

∴△ETG≌△FTK，

∴EF=EG，

∴OE+OF=OG-EG+OK+FK=OG+OK=4

延长NH交⊙Q于R，连接QN，QR，∵∠EOF=90°，

∴EF为⊙Q的直径，∴

∴NR=OF

∴NH=NR=OF

同理MG=OE

∴MG+NH=（OE+OF）=×4=2

点睛: 本题考查了圆的综合知识，难度较大，一般为中考题的压轴题.