Question

【题目】如图，在△ABC中，点D是AC边上一点，AD=10，DC=8．以AD为直径的⊙O与边BC切于点E，且AB=BE

（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）过D点作DF∥BC交⊙O于点F，求线段DF的长．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如图，连接OB、OE．

在△ABO和△EBO中，

∵ ，

∴△ABO≌△EBO（SSS），

∴∠BAO=∠BEO（全等三角形的对应角相等）；

又∵BE是⊙O的切线，

∴OE⊥BC，

∴∠BEO=90°，

∴∠BAO=90°，即AB⊥AD，

∴AB是⊙O的切线；

（2）

解：

∵AD=10，DC=8，

∴OC=13，OE=5，

∴在直角△OEC中，根据勾股定理知，EC=12．

设DF交OE于点G．

∵DF∥BC（已知），

∴∠OGD=∠OEC=90°（两直线平行，同位角相等），

∴OG⊥DF，

∴FD=2DG（垂径定理）；

∵DF∥BC，

∴ ，即 ，

∴DG= ，

∴DF= ．

【解析】（1）欲证AB是⊙O的切线，只需证明证得AB⊥AD即可；（2）根据垂径定理推知DF=2DG；然后根据平行线截线段成比例证得 = ，即 = ，由此可以求得DF的长度．
【考点精析】关于本题考查的勾股定理的概念和垂径定理，需要了解直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2；垂径定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧才能得出正确答案．