Question

【题目】如图，已知⊙O的直径AB=12，弦AC=10，D是 的中点，过点D作DE⊥AC，交AC的延长线于点E.
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）求AE的长.

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接OD，

∵D为 的中点，

∴ = ，

∴∠BOD=∠BAE，

∴OD∥AE，

∵DE⊥AC，

∴∠ADE=90°，

∴∠AED=90°，

∴OD⊥DE，

则DE为圆O的切线；

（2）解：过点O作OF⊥AC，

∵AC=10，

∴AF=CF= AC=5，

∵∠OFE=∠DEF=∠ODE=90°，

∴四边形OFED为矩形，

∴FE=OD= AB，

∵AB=12，

∴FE=6，

则AE=AF+FE=5+6=11.

【解析】（1）连接OD，由D为弧BC的中点，得到两条弧相等，进而得到两个同位角相等，确定出OD与AE平行，利用两直线平行同旁内角互补得到OD与DE垂直，即可得证；（2）过O作OF垂直于AC，利用垂径定理得到F为AC中点，再由四边形OFED为矩形，求出FE的长，由AF+EF求出AE的长即可.
【考点精析】通过灵活运用勾股定理的概念和垂径定理，掌握直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2；垂径定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧即可以解答此题．