Question

【题目】已知函数y=mx2﹣（2m﹣5）x+m﹣2的图象与x轴有两个公共点.
（1）求m的取值范围，并写出当m取范围内最大整数时函数的解析式；
（2）题（1）中求得的函数记为C1 ，
①当n≤x≤﹣1时，y的取值范围是1≤y≤﹣3n，求n的值；
②函数C2：y=m（x﹣h）2+k的图象由函数C1的图象平移得到，其顶点P落在以原点为圆心，半径为 的圆内或圆上，设函数C1的图象顶点为M，求点P与点M距离最大时函数C2的解析式.

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵函数图象与x轴有两个交点，

∴m≠0且[﹣（2m﹣5）]2﹣4m（m﹣2）＞0，

解得：m＜ 且m≠0.

∵m为符合条件的最大整数，

∴m=2.

∴函数的解析式为y=2x2+x.

（2）

解：①抛物线的对称轴为x=﹣ =﹣ .

∵n≤x≤﹣1＜﹣ ，a=2＞0，

∴当n≤x≤﹣1时，y随x的增大而减小.

∴当x=n时，y=﹣3n.

∴2n2+n=﹣3n，解得n=﹣2或n=0（舍去）.

∴n的值为﹣2.

②∵y=2x2+x=2（x+ ）2﹣ ，

∴M（﹣ ，﹣ ）.

如图所示：

当点P在OM与⊙O的交点处时，PM有最大值.

设直线OM的解析式为y=kx，将点M的坐标代入得：﹣ k=﹣ ，解得：k= .

∴OM的解析式为y= x.

设点P的坐标为（x， x）.

由两点间的距离公式可知：OP= =5，

解得：x=2或x=﹣2（舍去）.

∴点P的坐标为（2，1）.

∴当点P与点M距离最大时函数C2的解析式为y=2（x﹣2）2+1.

【解析】（1）函数图形与x轴有两个公共点，则该函数为二次函数且△＞0，故此可得到关于m的不等式组，从而可求得m的取值范围；（2）先求得抛物线的对称轴，当n≤x≤﹣1时，函数图象位于对称轴的左侧，y随x的增大而减小，当当x=n时，y有最大值﹣3n，然后将x=n，y=﹣3n代入求解即可；（3）先求得点M的坐标，然后再求得当MP经过圆心时，PM有最大值，故此可求得点P的坐标，从而可得到函数C2的解析式.
【考点精析】利用二次函数的图象和二次函数的性质对题目进行判断即可得到答案，需要熟知二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点；增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小．