Question

【题目】C点的坐标为（4，4），A为y轴负半轴上一动点，连CA，CB⊥CA交x轴于B．

（1）求OB﹣OA的值；

（2）E在x轴正半轴上，D在y轴负半轴上，∠DCE＝45°，转动∠DCE，求线段BE、DE和AD之间的数量关系．

Answer 1

【答案】（1）8；（2）①当D在OA的延长线上时，DE＝AD+BE；②当D在边OA上时，DE＝BE﹣AD

【解析】

（1）如图1，作辅助线，证明△CQA≌△CPB（AAS），可得PB=AQ，根据线段的和与差可得结论；

（2）存在两种情况：

①当D在OA的延长线上时，如图2，作辅助线，证明△CAD≌△CBM（ASA）和△DCE≌△MCE（SAS），得DE=EM，AD=BM，相加可得结论．

②当D在边OA上时，如图3，同理可得；DE=BE-AD．

解：（1）如图1，过C作CQ⊥y轴于Q，过C作CP⊥OB于P，

∵C（4，4），

∴CQ＝CP＝OQ＝OP＝4，

∵AC⊥BC，

∴∠ACB＝∠ACP+∠BCP＝∠BCP+∠PBC＝90°，

∴∠ACP＝∠PBC，

∵OA∥PC，

∴∠CAQ＝∠ACP＝∠PBC，

∵∠CPB＝∠CQA＝90°，

∴△CQA≌△CPB（AAS），

∴PB＝AQ，

∴OB﹣OA＝OP+PB﹣OA＝OP+AQ﹣OA＝OP+OQ＝8；

（2）分两种情况：

①当D在OA的延长线上时，DE＝AD+BE，理由是：

如图2，过C作CM⊥CD，交x轴于M，

∵AC⊥BC，

∴∠ACD＝∠BCM，

由（1）知：△CQA≌△CPB，

∴AC＝BC，∠CAQ＝∠PBC，

∴∠DAC＝∠MBC，

∴△CAD≌△CBM（ASA），

∴BM＝AD，CD＝CM，

∵∠ACB＝90°，∠DCE＝45°，

∴∠ACD+∠BCE＝45°＝∠BCM+∠BCE＝∠ECM，

∵CE＝CE，

∴△DCE≌△MCE（SAS），

∴DE＝EM，

∴EM＝BE+BM＝BE+AD＝DE，

即DE＝AD+BE．

②当D在边OA上时，DE＝BE﹣AD，理由是：

如图3，过C作CM⊥CD，交x轴于M，

同理得△CAD≌△CBM（ASA），

∴BM＝AD，CD＝CM，

同理得：△DCE≌△MCE（SAS），

∴DE＝EM，

∴EM＝BE﹣BM＝BE﹣AD＝DE，

即DE＝BE﹣AD．