Question

【题目】如图1所示，等边△ABC中，AD是BC边上的中线，根据等腰三角形的“三线合一”特性，AD平分∠BAC，且AD⊥BC，则有∠BAD=30°，BD=CD=AB．于是可得出结论“直角三角形中， 30°角所对的直角边等于斜边的一半”．

请根据从上面材料中所得到的信息解答下列问题：

（1）如图2所示，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线交AB于点D，垂足为E，当BD=5cm，∠B=30°时，△ACD的周长=　 　．

（2）如图3所示，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，D是BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，那么BE：EA=　 　．

（3）如图4所示，在等边△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，且AE=DC，AD、BE交于点P，作BQ⊥AD于Q，若BP=2，求BQ的长．

Answer 1

【答案】（1）15cm；（2）3：1；（3）BQ=．

【解析】整体分析：

(1)由“直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”求AC的长；(2)连接AD，由“三线合一”得∠BAD=60°，利用直角三角形中的30°角所对的直角边的性质，分别把BE，EA用BD表示；(3)证明△BAE≌△ACD，得∠BPQ=60°，结合勾股定理求解.

解：(1)∵DE是线段BC的垂直平分线，∠ACB=90°，

∴CD=BD，AD=BD．

又∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，

∴AC=AB，

∴△ACD的周长=AC+AB=3BD=15cm．

故答案为15cm；

(2)连接AD，如图所示．

∵在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，D是BC的中点，

∴∠BAD=60°．

又∵DE⊥AB，

∴∠B=∠ADE=30°，∴BE=BD，EA=AD，

∵BD=AD，∴EA=AD=BD.

∴BE:EA=BD: AD，

∴BE:AE=3:1．

故答案为3:1．

(3)∵△ABC为等边三角形．

∴AB=AC，∠BAC=∠ACB=60°，

在△BAE和△ACD中，

AE=CD，∠BAC=∠ACB，AB=AC，

∴△BAE≌△ACD(SAS)，∴∠ABE=∠CAD．

∵∠BPQ为△ABP外角，

∴∠BPQ=∠ABE+∠BAD．∴∠BPQ=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°，

∵BQ⊥AD，

∴∠PBQ=30°，∴BP=2PQ=2，∴PQ=1，

∴BQ===．