Question

【题目】如图所示，在平行四边形ABCD中，∠A=90°，AB=6cm，BC=12cm，点E由点A出发沿AB方向向点B匀速移动，速度为1cm/s，点F由点B出发沿BC方向向点C匀速移动，速度为2cm/s，如果动点E、F同时从A、B两点出发，连接EF，若设运动时间为ts，解答下列问题．

（1）当t为 时，△BEF为等腰直角三角形；

（2）当t为 时，△DFC为等腰直角三角形；

（3）是否存在某一时刻，使△EFB∽△FDC？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）2s；（2）3s；（3）当t=1.5时，△EFB∽△FDC．

【解析】

试题分析：（1）由已知条件易证四边形ABCD是矩形，所以∠A=∠B=∠C=90°，若△BEF为等腰直角三角形，则BE=BF，进而可求出t的值；

（2）由（1）可知∠C=90°，若△DFC为等腰直角三角形，则CF=DC，进而可求出t的值；

（3）若△EFB∽△FDC，则BE：CF=BF：DC，结合题目的已知条件可得到关于t的方程，解方程即可得知是否存在t的值．

解：

（1）∵在平行四边形ABCD中，∠A=90°，

∴四边形ABCD是矩形，

∴∠A=∠B=∠C=90°，

∴若△BEF为等腰直角三角形，则BE=BF，

∵点E由点A出发沿AB方向向点B匀速移动，速度为1cm/s，点F由点B出发沿BC方向向点C匀速移动，速度为2cm/s，AB=6cm，BC=12cm，

∴BE=（6﹣t）cm，BF=2t，

∴6﹣t=2t，

∴t=2s，

故答案为2s；

（2）由（1）可知若△DFC为等腰直角三角形，则CF=DC，

∵CF=2tcm，DC=6cm，

∴2t=6，

∴t=3s，

故答案为3s；

（3）存在某一时刻，使△EFB∽△FDC，

∵△EFB∽△FDC，

∴BE：CF=BF：DC，

∴，

整理得：2t2﹣15t+18=0，

即（2t﹣3）（t﹣6）=0，

解得：t=1.5或t=6（舍），

∴当t=1.5时，△EFB∽△FDC．