Question

【题目】如图，A，B，C为⊙O上相邻的三个n等分点， ，点E在 上，EF为⊙O的直径，将⊙O沿EF折叠，使点A与A′重合，点B与B′重合，连接EB′，EC，EA′．设EB′=b，EC=c，EA′=p．现探究b，c，p三者的数量关系：发现当n=3时，p=b+c．请继续探究b，c，p三者的数量关系：当n=4时，p=；当n=12时，p= ． （参考数据：sin15°=cos75°= ，cos15°=sin75°= ）

Answer 1

【答案】c+ b；c+ b
【解析】解：如解答图所示，连接AB、AC、BC． 由题意，点A、B、C为圆上的n等分点，
∴AB=BC，∠ACB= × = （度）．
在等腰△ABC中，过顶点B作BN⊥AC于点N，
则AC=2CN=2BCcos∠ACB=2cos BC，
∴ =2cos ．
连接AE、BE，在AE上取一点D，使ED=EC，连接CD．
∵∠ABC=∠CED，
∴△ABC与△CED为顶角相等的两个等腰三角形，
∴△ABC∽△CED．
∴ ，∠ACB=∠DCE．
∵∠ACB=∠ACD+∠BCD，∠DCE=∠BCE+∠BCD，
∴∠ACD=∠BCE．
在△ACD与△BCE中，
∵ ，∠ACD=∠BCE，
∴△ACD∽△BCE．
∴ ，
∴DA= EB=2cos EB．
∴EA=ED+DA=EC+2cos EB．
由折叠性质可知，p=EA′=EA，b=EB′=EB，c=EC．
∴p=c+2cos b．
当n=4时，p=c+2cos45°b=c+ b；
当n=12时，p=c+2cos15°b=c+ b．
所以答案是：c+ b，c+ b．