Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx（k为常数）与抛物线y= x2﹣2交于A，B两点，且A点在y轴左侧，P点的坐标为（0，﹣4），连接PA，PB．有以下说法：
①PO2=PAPB；
②当k＞0时，（PA+AO）（PB﹣BO）的值随k的增大而增大；
③当k=- 时，BP2=BOBA；
④△PAB面积的最小值为 ．
其中正确的是 ． （写出所有正确说法的序号）

Answer 1

【答案】③④
【解析】解：设A（m，km），B（n，kn），其中m＜0，n＞0．
联立y= x2﹣2与y=kx得： x2﹣2=kx，即x2﹣3kx﹣6=0，
∴m+n=3k，mn=﹣6．
设直线PA的解析式为y=ax+b，将P（0，﹣4），A（m，km）代入得：
，解得a= ，b=﹣4，
∴y=（ ）x﹣4．
令y=0，得x= ，
∴直线PA与x轴的交点坐标为（ ，0）．
同理可得，直线PB的解析式为y=（ ）x﹣4，直线PB与x轴交点坐标为（ ，0）．
∵ + = = =0，
∴直线PA、PB与x轴的交点关于y轴对称，即直线PA、PB关于y轴对称．
1）说法①错误．理由如下：
如答图1所示，∵PA、PB关于y轴对称，
∴点A关于y轴的对称点A′落在PB上．
连接OA′，则OA=OA′，∠POA=∠POA′．

假设结论：PO2=PAPB成立，即PO2=PA′PB，
∴ ，
又∵∠BPO=∠BPO，
∴△POA′∽△PBO，
∴∠POA′=∠PBO，
∴∠AOP=∠PBO．
而∠AOP是△PBO的外角，
∴∠AOP＞∠PBO，矛盾，
∴说法①错误．
2）说法②错误．理由如下：
易知： =﹣ ，
∴OB=﹣ OA．
由对称可知，PO为△APB的角平分线，
∴ ，
∴PB=﹣ PA．
∴（PA+AO）（PB﹣BO）=（PA+AO）[﹣ PA﹣（﹣ OA）]=﹣ （PA+AO）（PA﹣OA）=﹣ （PA2﹣AO2）．
如答图2所示，过点A作AD⊥y轴于点D，则OD=﹣km，PD=4+km．

∴PA2﹣AO2=（PD2+AD2）﹣（OD2+AD2）=PD2﹣OD2=（4+km）2﹣（﹣km）2=8km+16，
∵m+n=3k，∴k= （m+n），
∴PA2﹣AO2=8 （m+n）m+16= m2+ mn+16= m2+ ×（﹣6）+16= m2 ．
∴（PA+AO）（PB﹣BO）=﹣ （PA2﹣AO2）=﹣ m2=﹣ mn=﹣ ×（﹣6）=16．
即：（PA+AO）（PB﹣BO）为定值，所以说法②错误．
3）说法③正确．理由如下：
当k= 时，联立方程组： ，得A（ ，2），B（ ，﹣1），
∴BP2=12，BOBA=2×6=12，
∴BP2=BOBA，故说法③正确．
4）说法④正确．理由如下：
S△PAB=S△PAO+S△PBO= OP（﹣m）+ OPn= OP（n﹣m）=2（n﹣m）=2 =2 ，
∴当k=0时，△PAB面积有最小值，最小值为 = ．
故说法④正确．
综上所述，正确的说法是：③④．
所以答案是：③④．
【考点精析】本题主要考查了根与系数的关系的相关知识点，需要掌握一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定；两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商才能正确解答此题．