Question

【题目】如图，图①中△ABC是等边三角形，其边长是3，图②中△DEF是等腰直角三角形，∠F＝90°，DF＝EF＝3.

(1)若S1为△ABC的面积，S2为△DEF的面积，S3＝AB·BC·sinB，S4＝DE·DF·sinD，请通过计算说明S1与S3，S2与S4之间有着怎样的关系；

(2)在图③中，∠P＝α(α为锐角)，OP＝m，PQ＝n，△OPQ的面积为S，请你根据第(1)小题的解答，直接写出S与m，n以及α之间的关系式，并给出证明．

Answer 1

【答案】(1) S1＝S3，S2＝S4 (2) S＝mnsinα.

【解析】（1）图①，过点A作AH⊥BC于点H，由已知先求出AH的长，再利用三角形面积公式进行计算可得S1；图②直接利用三角形面积公式进行求解可得S2；

根据已知数据可计算得出S3，计算S4时，先利用勾股定理求出DE的长，再代入式子进行计算即可，根据以上数据进行比较即可得；

（2）根据（1）中的发现直接写出然后进行证明即可得.证明思路：过点O作OM⊥PQ，垂足为点M，在Rt△OPM中，先求出OM长，再利用三角形面积公式进行计算即可得证.

（1）如图，过点A作AH⊥BC于点H，

∵△ABC是等边三角形，AH⊥BC，∴AH＝AB·sinB＝3sin60°＝3×＝，

∴S1＝×3×＝，

∵△DEF是等腰直角三角形，∠F＝90°，DF＝EF＝3，

∴∠D＝45°，S2＝＝，

S3＝AB·BC·sinB＝×3×3×sin60°＝，

在Rt△DEF中，由勾股定理得DE＝＝3，

∴S4＝DE·DF·sinD＝×3×3×＝，

∴S1＝S3，S2＝S4；

（2）S＝mnsinα，证明如下：

如图，过点O作OM⊥PQ，垂足为点M，

在Rt△OPM中，∠OMP＝90°，∴OM＝OP·sinP，

∵∠P＝α，OP＝m，∴OM＝msinα，

∴S＝PQ·OM＝mnsinα.